Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ioossioobi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioossioobi 39546
Description: Biconditional form of ioossioo 12250. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ioossioobi.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
ioossioobi.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
ioossioobi.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
ioossioobi.d (𝜑𝐷 ∈ ℝ*)
ioossioobi.cltd (𝜑𝐶 < 𝐷)
Assertion
Ref Expression
ioossioobi (𝜑 → ((𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐴𝐶𝐷𝐵)))

Proof of Theorem ioossioobi
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 477 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
2 df-ioo 12164 . . . . . 6 (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)})
32ixxssxr 12172 . . . . 5 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ*
4 infxrss 12154 . . . . 5 (((𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵) ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ*) → inf((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < ) ≤ inf((𝐶(,)𝐷), ℝ*, < ))
51, 3, 4sylancl 693 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → inf((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < ) ≤ inf((𝐶(,)𝐷), ℝ*, < ))
6 ioossioobi.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
76adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
8 ioossioobi.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
98adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
10 ioossioobi.cltd . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 < 𝐷)
11 ioossioobi.c . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
12 ioossioobi.d . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 ∈ ℝ*)
13 ioon0 12186 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) → ((𝐶(,)𝐷) ≠ ∅ ↔ 𝐶 < 𝐷))
1411, 12, 13syl2anc 692 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶(,)𝐷) ≠ ∅ ↔ 𝐶 < 𝐷))
1510, 14mpbird 247 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶(,)𝐷) ≠ ∅)
1615adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐶(,)𝐷) ≠ ∅)
17 ssn0 3967 . . . . . 6 (((𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵) ∧ (𝐶(,)𝐷) ≠ ∅) → (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅)
181, 16, 17syl2anc 692 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅)
19 idd 24 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐵𝑤 < 𝐵))
20 xrltle 11967 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐵𝑤𝐵))
21 idd 24 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑤𝐴 < 𝑤))
22 xrltle 11967 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑤𝐴𝑤))
232, 19, 20, 21, 22ixxlb 12182 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅) → inf((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < ) = 𝐴)
247, 9, 18, 23syl3anc 1324 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → inf((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < ) = 𝐴)
2511adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
2612adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐷 ∈ ℝ*)
27 idd 24 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐷𝑤 < 𝐷))
28 xrltle 11967 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐷𝑤𝐷))
29 idd 24 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐶 < 𝑤𝐶 < 𝑤))
30 xrltle 11967 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐶 < 𝑤𝐶𝑤))
312, 27, 28, 29, 30ixxlb 12182 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ* ∧ (𝐶(,)𝐷) ≠ ∅) → inf((𝐶(,)𝐷), ℝ*, < ) = 𝐶)
3225, 26, 16, 31syl3anc 1324 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → inf((𝐶(,)𝐷), ℝ*, < ) = 𝐶)
335, 24, 323brtr3d 4675 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴𝐶)
34 supxrss 12147 . . . . 5 (((𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵) ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ*) → sup((𝐶(,)𝐷), ℝ*, < ) ≤ sup((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < ))
351, 3, 34sylancl 693 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → sup((𝐶(,)𝐷), ℝ*, < ) ≤ sup((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < ))
362, 27, 28, 29, 30ixxub 12181 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ* ∧ (𝐶(,)𝐷) ≠ ∅) → sup((𝐶(,)𝐷), ℝ*, < ) = 𝐷)
3725, 26, 16, 36syl3anc 1324 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → sup((𝐶(,)𝐷), ℝ*, < ) = 𝐷)
382, 19, 20, 21, 22ixxub 12181 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅) → sup((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < ) = 𝐵)
397, 9, 18, 38syl3anc 1324 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → sup((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < ) = 𝐵)
4035, 37, 393brtr3d 4675 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐷𝐵)
4133, 40jca 554 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴𝐶𝐷𝐵))
426adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐶𝐷𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
438adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐶𝐷𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
44 simprl 793 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐶𝐷𝐵)) → 𝐴𝐶)
45 simprr 795 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐶𝐷𝐵)) → 𝐷𝐵)
46 ioossioo 12250 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐶𝐷𝐵)) → (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
4742, 43, 44, 45, 46syl22anc 1325 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐶𝐷𝐵)) → (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
4841, 47impbida 876 1 (𝜑 → ((𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐴𝐶𝐷𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  wne 2791  wss 3567  c0 3907   class class class wbr 4644  (class class class)co 6635  supcsup 8331  infcinf 8332  *cxr 10058   < clt 10059  cle 10060  (,)cioo 12160
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-sup 8333  df-inf 8334  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-q 11774  df-ioo 12164
This theorem is referenced by:  fourierdlem50  40136
  Copyright terms: Public domain W3C validator