MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioossre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioossre 12185
Description: An open interval is a set of reals. (Contributed by NM, 31-May-2007.)
Assertion
Ref Expression
ioossre (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ

Proof of Theorem ioossre
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elioore 12155 . 2 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
21ssriv 3591 1 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wss 3559  (class class class)co 6610  cr 9887  (,)cioo 12125
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-ioo 12129
This theorem is referenced by:  ioof  12221  difreicc  12254  icopnfcld  22494  ioombl1  23253  ioorcl2  23263  uniioombllem2  23274  uniioombllem3a  23275  uniioombllem3  23276  uniioombllem4  23277  uniioombllem6  23279  ismbf3d  23344  itgsplitioo  23527  ditgeq3  23537  dvferm1lem  23668  dvferm2lem  23670  dvferm  23672  dvlip  23677  dvlipcn  23678  dvle  23691  dvivthlem1  23692  dvivth  23694  lhop1lem  23697  lhop1  23698  lhop2  23699  lhop  23700  dvfsumle  23705  dvfsumge  23706  dvfsumlem1  23710  dvfsumlem2  23711  dvfsumlem3  23712  dvfsumlem4  23713  dvfsumrlimge0  23714  dvfsumrlim  23715  dvfsumrlim2  23716  dvfsum2  23718  ftc1a  23721  ftc1cn  23727  ftc2  23728  itgsubstlem  23732  itgsubst  23733  efcvx  24124  pige3  24190  tanord  24205  divlogrlim  24298  logccv  24326  atantan  24567  amgmlem  24633  vmalogdivsum2  25144  2vmadivsumlem  25146  chpdifbndlem1  25159  selberg3lem1  25163  selberg4lem1  25166  selberg4  25167  selberg3r  25175  selberg4r  25176  selberg34r  25177  pntrlog2bndlem2  25184  pntrlog2bndlem3  25185  pntrlog2bndlem4  25186  pntrlog2bndlem5  25187  pntrlog2bndlem6  25189  pntrlog2bnd  25190  pntpbnd1a  25191  pntpbnd1  25192  pntpbnd2  25193  pntibndlem2a  25196  pntibndlem2  25197  pntibndlem3  25198  pntlemd  25200  pnt  25220  padicabv  25236  cnre2csqima  29763  ftc2re  30474  itgexpif  30475  ioosconn  30972  iccllysconn  30975  itg2gt0cn  33132  itggt0cn  33149  ftc1cnnclem  33150  ftc1cnnc  33151  ftc1anclem8  33159  ftc2nc  33161  dvreasin  33165  dvreacos  33166  areacirclem1  33167  areacirc  33172  itgpowd  37316  ioosscn  39158  ioontr  39178  iooshift  39190  ioonct  39206  iooiinicc  39211  icomnfinre  39221  iooiinioc  39225  islptre  39283  lptioo2  39295  lptioo1  39296  limcresiooub  39306  limcresioolb  39307  limcleqr  39308  lptioo2cn  39309  lptioo1cn  39310  limclner  39315  limclr  39319  icccncfext  39431  cncfiooicclem1  39437  dvmptresicc  39467  dvresioo  39469  dvbdfbdioolem1  39476  dvbdfbdioolem2  39477  ioodvbdlimc1lem1  39479  ioodvbdlimc1lem2  39480  ioodvbdlimc2lem  39482  itgsin0pilem1  39498  itgcoscmulx  39518  itgiccshift  39529  itgperiod  39530  itgsbtaddcnst  39531  dirkercncflem2  39654  dirkercncflem3  39655  dirkercncflem4  39656  fourierdlem16  39673  fourierdlem21  39678  fourierdlem22  39679  fourierdlem28  39685  fourierdlem48  39704  fourierdlem49  39705  fourierdlem50  39706  fourierdlem56  39712  fourierdlem57  39713  fourierdlem59  39715  fourierdlem60  39716  fourierdlem61  39717  fourierdlem65  39721  fourierdlem72  39728  fourierdlem74  39730  fourierdlem75  39731  fourierdlem76  39732  fourierdlem80  39736  fourierdlem81  39737  fourierdlem83  39739  fourierdlem84  39740  fourierdlem85  39741  fourierdlem88  39744  fourierdlem89  39745  fourierdlem90  39746  fourierdlem91  39747  fourierdlem92  39748  fourierdlem94  39750  fourierdlem95  39751  fourierdlem97  39753  fourierdlem101  39757  fourierdlem103  39759  fourierdlem104  39760  fourierdlem111  39767  fourierdlem112  39768  fourierdlem113  39769  fouriersw  39781  fouriercn  39782  ioorrnopnlem  39857  hspdifhsp  40163  hspmbllem2  40174  hspmbl  40176  iunhoiioolem  40222  smfresal  40328  smfpimbor1lem1  40338
  Copyright terms: Public domain W3C validator