MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ip0l Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ip0l 20708
Description: Inner product with a zero first argument. Part of proof of Theorem 6.44 of [Ponnusamy] p. 361. (Contributed by NM, 5-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlsrng.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
phllmhm.h , = (·𝑖𝑊)
phllmhm.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
ip0l.z 𝑍 = (0g𝐹)
ip0l.o 0 = (0g𝑊)
Assertion
Ref Expression
ip0l ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉) → ( 0 , 𝐴) = 𝑍)

Proof of Theorem ip0l
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 phllmod 20702 . . . . 5 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
2 lmodgrp 19570 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
3 phllmhm.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
4 ip0l.o . . . . . 6 0 = (0g𝑊)
53, 4grpidcl 18069 . . . . 5 (𝑊 ∈ Grp → 0𝑉)
61, 2, 53syl 18 . . . 4 (𝑊 ∈ PreHil → 0𝑉)
76adantr 481 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉) → 0𝑉)
8 oveq1 7152 . . . 4 (𝑥 = 0 → (𝑥 , 𝐴) = ( 0 , 𝐴))
9 eqid 2818 . . . 4 (𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐴)) = (𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐴))
10 ovex 7178 . . . 4 ( 0 , 𝐴) ∈ V
118, 9, 10fvmpt 6761 . . 3 ( 0𝑉 → ((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐴))‘ 0 ) = ( 0 , 𝐴))
127, 11syl 17 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉) → ((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐴))‘ 0 ) = ( 0 , 𝐴))
13 phlsrng.f . . . 4 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
14 phllmhm.h . . . 4 , = (·𝑖𝑊)
1513, 14, 3, 9phllmhm 20704 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉) → (𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐴)) ∈ (𝑊 LMHom (ringLMod‘𝐹)))
16 lmghm 19732 . . 3 ((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐴)) ∈ (𝑊 LMHom (ringLMod‘𝐹)) → (𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐴)) ∈ (𝑊 GrpHom (ringLMod‘𝐹)))
17 ip0l.z . . . . 5 𝑍 = (0g𝐹)
18 rlm0 19898 . . . . 5 (0g𝐹) = (0g‘(ringLMod‘𝐹))
1917, 18eqtri 2841 . . . 4 𝑍 = (0g‘(ringLMod‘𝐹))
204, 19ghmid 18302 . . 3 ((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐴)) ∈ (𝑊 GrpHom (ringLMod‘𝐹)) → ((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐴))‘ 0 ) = 𝑍)
2115, 16, 203syl 18 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉) → ((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐴))‘ 0 ) = 𝑍)
2212, 21eqtr3d 2855 1 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉) → ( 0 , 𝐴) = 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  cmpt 5137  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  Scalarcsca 16556  ·𝑖cip 16558  0gc0g 16701  Grpcgrp 18041   GrpHom cghm 18293  LModclmod 19563   LMHom clmhm 19720  ringLModcrglmod 19870  PreHilcphl 20696
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-plusg 16566  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-0g 16703  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-grp 18044  df-ghm 18294  df-lmod 19565  df-lmhm 19723  df-lvec 19804  df-sra 19873  df-rgmod 19874  df-phl 20698
This theorem is referenced by:  ip0r  20709  ipeq0  20710  ocvlss  20744  cphip0l  23733
  Copyright terms: Public domain W3C validator