MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ip2di Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ip2di 19905
Description: Distributive law for inner product. (Contributed by NM, 17-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlsrng.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
phllmhm.h , = (·𝑖𝑊)
phllmhm.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
ipdir.g + = (+g𝑊)
ipdir.p = (+g𝐹)
ip2di.1 (𝜑𝑊 ∈ PreHil)
ip2di.2 (𝜑𝐴𝑉)
ip2di.3 (𝜑𝐵𝑉)
ip2di.4 (𝜑𝐶𝑉)
ip2di.5 (𝜑𝐷𝑉)
Assertion
Ref Expression
ip2di (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) , (𝐶 + 𝐷)) = (((𝐴 , 𝐶) (𝐵 , 𝐷)) ((𝐴 , 𝐷) (𝐵 , 𝐶))))

Proof of Theorem ip2di
StepHypRef Expression
1 ip2di.1 . . 3 (𝜑𝑊 ∈ PreHil)
2 ip2di.2 . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
3 ip2di.3 . . 3 (𝜑𝐵𝑉)
4 phllmod 19894 . . . . 5 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
51, 4syl 17 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
6 ip2di.4 . . . 4 (𝜑𝐶𝑉)
7 ip2di.5 . . . 4 (𝜑𝐷𝑉)
8 phllmhm.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
9 ipdir.g . . . . 5 + = (+g𝑊)
108, 9lmodvacl 18798 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐶𝑉𝐷𝑉) → (𝐶 + 𝐷) ∈ 𝑉)
115, 6, 7, 10syl3anc 1323 . . 3 (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) ∈ 𝑉)
12 phlsrng.f . . . 4 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
13 phllmhm.h . . . 4 , = (·𝑖𝑊)
14 ipdir.p . . . 4 = (+g𝐹)
1512, 13, 8, 9, 14ipdir 19903 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉 ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ 𝑉)) → ((𝐴 + 𝐵) , (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 , (𝐶 + 𝐷)) (𝐵 , (𝐶 + 𝐷))))
161, 2, 3, 11, 15syl13anc 1325 . 2 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) , (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 , (𝐶 + 𝐷)) (𝐵 , (𝐶 + 𝐷))))
1712, 13, 8, 9, 14ipdi 19904 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐶𝑉𝐷𝑉)) → (𝐴 , (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 , 𝐶) (𝐴 , 𝐷)))
181, 2, 6, 7, 17syl13anc 1325 . . 3 (𝜑 → (𝐴 , (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 , 𝐶) (𝐴 , 𝐷)))
1912, 13, 8, 9, 14ipdi 19904 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉𝐷𝑉)) → (𝐵 , (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐵 , 𝐶) (𝐵 , 𝐷)))
201, 3, 6, 7, 19syl13anc 1325 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 , (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐵 , 𝐶) (𝐵 , 𝐷)))
2112phlsrng 19895 . . . . . 6 (𝑊 ∈ PreHil → 𝐹 ∈ *-Ring)
22 srngring 18773 . . . . . 6 (𝐹 ∈ *-Ring → 𝐹 ∈ Ring)
23 ringcmn 18502 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ CMnd)
241, 21, 22, 234syl 19 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ CMnd)
25 eqid 2621 . . . . . . 7 (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
2612, 13, 8, 25ipcl 19897 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵𝑉𝐶𝑉) → (𝐵 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
271, 3, 6, 26syl3anc 1323 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
2812, 13, 8, 25ipcl 19897 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵𝑉𝐷𝑉) → (𝐵 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹))
291, 3, 7, 28syl3anc 1323 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹))
3025, 14cmncom 18130 . . . . 5 ((𝐹 ∈ CMnd ∧ (𝐵 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝐵 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹)) → ((𝐵 , 𝐶) (𝐵 , 𝐷)) = ((𝐵 , 𝐷) (𝐵 , 𝐶)))
3124, 27, 29, 30syl3anc 1323 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵 , 𝐶) (𝐵 , 𝐷)) = ((𝐵 , 𝐷) (𝐵 , 𝐶)))
3220, 31eqtrd 2655 . . 3 (𝜑 → (𝐵 , (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐵 , 𝐷) (𝐵 , 𝐶)))
3318, 32oveq12d 6622 . 2 (𝜑 → ((𝐴 , (𝐶 + 𝐷)) (𝐵 , (𝐶 + 𝐷))) = (((𝐴 , 𝐶) (𝐴 , 𝐷)) ((𝐵 , 𝐷) (𝐵 , 𝐶))))
3412, 13, 8, 25ipcl 19897 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐶𝑉) → (𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
351, 2, 6, 34syl3anc 1323 . . 3 (𝜑 → (𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
3612, 13, 8, 25ipcl 19897 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐷𝑉) → (𝐴 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹))
371, 2, 7, 36syl3anc 1323 . . 3 (𝜑 → (𝐴 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹))
3825, 14cmn4 18133 . . 3 ((𝐹 ∈ CMnd ∧ ((𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝐴 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹)) ∧ ((𝐵 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝐵 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))) → (((𝐴 , 𝐶) (𝐴 , 𝐷)) ((𝐵 , 𝐷) (𝐵 , 𝐶))) = (((𝐴 , 𝐶) (𝐵 , 𝐷)) ((𝐴 , 𝐷) (𝐵 , 𝐶))))
3924, 35, 37, 29, 27, 38syl122anc 1332 . 2 (𝜑 → (((𝐴 , 𝐶) (𝐴 , 𝐷)) ((𝐵 , 𝐷) (𝐵 , 𝐶))) = (((𝐴 , 𝐶) (𝐵 , 𝐷)) ((𝐴 , 𝐷) (𝐵 , 𝐶))))
4016, 33, 393eqtrd 2659 1 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) , (𝐶 + 𝐷)) = (((𝐴 , 𝐶) (𝐵 , 𝐷)) ((𝐴 , 𝐷) (𝐵 , 𝐶))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1987  cfv 5847  (class class class)co 6604  Basecbs 15781  +gcplusg 15862  Scalarcsca 15865  ·𝑖cip 15867  CMndccmn 18114  Ringcrg 18468  *-Ringcsr 18765  LModclmod 18784  PreHilcphl 19888
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-tpos 7297  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-0g 16023  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-mhm 17256  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-ghm 17579  df-cmn 18116  df-abl 18117  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-oppr 18544  df-rnghom 18636  df-staf 18766  df-srng 18767  df-lmod 18786  df-lmhm 18941  df-lvec 19022  df-sra 19091  df-rgmod 19092  df-phl 19890
This theorem is referenced by:  cph2di  22915
  Copyright terms: Public domain W3C validator