MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ip2eqi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ip2eqi 27600
Description: Two vectors are equal iff their inner products with all other vectors are equal. (Contributed by NM, 24-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip2eqi.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip2eqi.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
ip2eqi.u 𝑈 ∈ CPreHilOLD
Assertion
Ref Expression
ip2eqi ((𝐴𝑋𝐵𝑋) → (∀𝑥𝑋 (𝑥𝑃𝐴) = (𝑥𝑃𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑃   𝑥,𝑈   𝑥,𝑋

Proof of Theorem ip2eqi
StepHypRef Expression
1 ip2eqi.u . . . . . 6 𝑈 ∈ CPreHilOLD
21phnvi 27559 . . . . 5 𝑈 ∈ NrmCVec
3 ip2eqi.1 . . . . . 6 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
4 eqid 2621 . . . . . 6 ( −𝑣𝑈) = ( −𝑣𝑈)
53, 4nvmcl 27389 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴( −𝑣𝑈)𝐵) ∈ 𝑋)
62, 5mp3an1 1408 . . . 4 ((𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴( −𝑣𝑈)𝐵) ∈ 𝑋)
7 oveq1 6622 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐴( −𝑣𝑈)𝐵) → (𝑥𝑃𝐴) = ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐴))
8 oveq1 6622 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐴( −𝑣𝑈)𝐵) → (𝑥𝑃𝐵) = ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐵))
97, 8eqeq12d 2636 . . . . 5 (𝑥 = (𝐴( −𝑣𝑈)𝐵) → ((𝑥𝑃𝐴) = (𝑥𝑃𝐵) ↔ ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐴) = ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐵)))
109rspcv 3295 . . . 4 ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵) ∈ 𝑋 → (∀𝑥𝑋 (𝑥𝑃𝐴) = (𝑥𝑃𝐵) → ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐴) = ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐵)))
116, 10syl 17 . . 3 ((𝐴𝑋𝐵𝑋) → (∀𝑥𝑋 (𝑥𝑃𝐴) = (𝑥𝑃𝐵) → ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐴) = ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐵)))
12 simpl 473 . . . . . . 7 ((𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐴𝑋)
13 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐵𝑋)
14 ip2eqi.7 . . . . . . . . 9 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
153, 4, 14dipsubdi 27592 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵) ∈ 𝑋𝐴𝑋𝐵𝑋)) → ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃(𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)) = (((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐴) − ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐵)))
161, 15mpan 705 . . . . . . 7 (((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵) ∈ 𝑋𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃(𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)) = (((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐴) − ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐵)))
176, 12, 13, 16syl3anc 1323 . . . . . 6 ((𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃(𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)) = (((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐴) − ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐵)))
1817eqeq1d 2623 . . . . 5 ((𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃(𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)) = 0 ↔ (((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐴) − ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐵)) = 0))
19 eqid 2621 . . . . . . . 8 (0vec𝑈) = (0vec𝑈)
203, 19, 14ipz 27462 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴( −𝑣𝑈)𝐵) ∈ 𝑋) → (((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃(𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)) = 0 ↔ (𝐴( −𝑣𝑈)𝐵) = (0vec𝑈)))
212, 20mpan 705 . . . . . 6 ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵) ∈ 𝑋 → (((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃(𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)) = 0 ↔ (𝐴( −𝑣𝑈)𝐵) = (0vec𝑈)))
226, 21syl 17 . . . . 5 ((𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃(𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)) = 0 ↔ (𝐴( −𝑣𝑈)𝐵) = (0vec𝑈)))
2318, 22bitr3d 270 . . . 4 ((𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐴) − ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐵)) = 0 ↔ (𝐴( −𝑣𝑈)𝐵) = (0vec𝑈)))
243, 14dipcl 27455 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴( −𝑣𝑈)𝐵) ∈ 𝑋𝐴𝑋) → ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐴) ∈ ℂ)
252, 24mp3an1 1408 . . . . . 6 (((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵) ∈ 𝑋𝐴𝑋) → ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐴) ∈ ℂ)
266, 12, 25syl2anc 692 . . . . 5 ((𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐴) ∈ ℂ)
273, 14dipcl 27455 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴( −𝑣𝑈)𝐵) ∈ 𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
282, 27mp3an1 1408 . . . . . 6 (((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵) ∈ 𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
296, 28sylancom 700 . . . . 5 ((𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
3026, 29subeq0ad 10362 . . . 4 ((𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐴) − ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐵)) = 0 ↔ ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐴) = ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐵)))
313, 4, 19nvmeq0 27401 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵) = (0vec𝑈) ↔ 𝐴 = 𝐵))
322, 31mp3an1 1408 . . . 4 ((𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵) = (0vec𝑈) ↔ 𝐴 = 𝐵))
3323, 30, 323bitr3d 298 . . 3 ((𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐴) = ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
3411, 33sylibd 229 . 2 ((𝐴𝑋𝐵𝑋) → (∀𝑥𝑋 (𝑥𝑃𝐴) = (𝑥𝑃𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
35 oveq2 6623 . . 3 (𝐴 = 𝐵 → (𝑥𝑃𝐴) = (𝑥𝑃𝐵))
3635ralrimivw 2963 . 2 (𝐴 = 𝐵 → ∀𝑥𝑋 (𝑥𝑃𝐴) = (𝑥𝑃𝐵))
3734, 36impbid1 215 1 ((𝐴𝑋𝐵𝑋) → (∀𝑥𝑋 (𝑥𝑃𝐴) = (𝑥𝑃𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2908  cfv 5857  (class class class)co 6615  cc 9894  0cc0 9896  cmin 10226  NrmCVeccnv 27327  BaseSetcba 27329  0veccn0v 27331  𝑣 cnsb 27332  ·𝑖OLDcdip 27443  CPreHilOLDccphlo 27555
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974  ax-addf 9975  ax-mulf 9976
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-iin 4495  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-of 6862  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-supp 7256  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-2o 7521  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-ixp 7869  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-fsupp 8236  df-fi 8277  df-sup 8308  df-inf 8309  df-oi 8375  df-card 8725  df-cda 8950  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-z 11338  df-dec 11454  df-uz 11648  df-q 11749  df-rp 11793  df-xneg 11906  df-xadd 11907  df-xmul 11908  df-ioo 12137  df-icc 12140  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-seq 12758  df-exp 12817  df-hash 13074  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-clim 14169  df-sum 14367  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-starv 15896  df-sca 15897  df-vsca 15898  df-ip 15899  df-tset 15900  df-ple 15901  df-ds 15904  df-unif 15905  df-hom 15906  df-cco 15907  df-rest 16023  df-topn 16024  df-0g 16042  df-gsum 16043  df-topgen 16044  df-pt 16045  df-prds 16048  df-xrs 16102  df-qtop 16107  df-imas 16108  df-xps 16110  df-mre 16186  df-mrc 16187  df-acs 16189  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-submnd 17276  df-mulg 17481  df-cntz 17690  df-cmn 18135  df-psmet 19678  df-xmet 19679  df-met 19680  df-bl 19681  df-mopn 19682  df-cnfld 19687  df-top 20639  df-topon 20656  df-topsp 20677  df-bases 20690  df-cld 20763  df-ntr 20764  df-cls 20765  df-cn 20971  df-cnp 20972  df-t1 21058  df-haus 21059  df-tx 21305  df-hmeo 21498  df-xms 22065  df-ms 22066  df-tms 22067  df-grpo 27235  df-gid 27236  df-ginv 27237  df-gdiv 27238  df-ablo 27287  df-vc 27302  df-nv 27335  df-va 27338  df-ba 27339  df-sm 27340  df-0v 27341  df-vs 27342  df-nmcv 27343  df-ims 27344  df-dip 27444  df-ph 27556
This theorem is referenced by:  phoeqi  27601
  Copyright terms: Public domain W3C validator