MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipasslem11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipasslem11 27556
Description: Lemma for ipassi 27557. Show the inner product associative law for all complex numbers. (Contributed by NM, 25-Aug-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip1i.2 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
ip1i.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
ip1i.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
ip1i.9 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ipasslem11.a 𝐴𝑋
ipasslem11.b 𝐵𝑋
Assertion
Ref Expression
ipasslem11 (𝐶 ∈ ℂ → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)))

Proof of Theorem ipasslem11
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnre 9983 . 2 (𝐶 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐶 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
2 ax-icn 9942 . . . . . . . 8 i ∈ ℂ
3 recn 9973 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
4 mulcom 9969 . . . . . . . 8 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (i · 𝑦) = (𝑦 · i))
52, 3, 4sylancr 694 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ → (i · 𝑦) = (𝑦 · i))
65adantl 482 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (i · 𝑦) = (𝑦 · i))
76oveq2d 6623 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + (i · 𝑦)) = (𝑥 + (𝑦 · i)))
87eqeq2d 2631 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐶 = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ 𝐶 = (𝑥 + (𝑦 · i))))
9 recn 9973 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
10 ip1i.9 . . . . . . . . . . 11 𝑈 ∈ CPreHilOLD
1110phnvi 27532 . . . . . . . . . 10 𝑈 ∈ NrmCVec
12 ipasslem11.a . . . . . . . . . 10 𝐴𝑋
13 ip1i.1 . . . . . . . . . . 11 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
14 ip1i.4 . . . . . . . . . . 11 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
1513, 14nvscl 27342 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → (𝑥𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
1611, 12, 15mp3an13 1412 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
179, 16syl 17 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
18 mulcl 9967 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (𝑦 · i) ∈ ℂ)
193, 2, 18sylancl 693 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 · i) ∈ ℂ)
2013, 14nvscl 27342 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑦 · i) ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑦 · i)𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
2111, 12, 20mp3an13 1412 . . . . . . . . 9 ((𝑦 · i) ∈ ℂ → ((𝑦 · i)𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
2219, 21syl 17 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → ((𝑦 · i)𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
23 ipasslem11.b . . . . . . . . 9 𝐵𝑋
24 ip1i.2 . . . . . . . . . 10 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
25 ip1i.7 . . . . . . . . . 10 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
2613, 24, 14, 25, 10ipdiri 27546 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑦 · i)𝑆𝐴) ∈ 𝑋𝐵𝑋) → (((𝑥𝑆𝐴)𝐺((𝑦 · i)𝑆𝐴))𝑃𝐵) = (((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵) + (((𝑦 · i)𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
2723, 26mp3an3 1410 . . . . . . . 8 (((𝑥𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑦 · i)𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → (((𝑥𝑆𝐴)𝐺((𝑦 · i)𝑆𝐴))𝑃𝐵) = (((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵) + (((𝑦 · i)𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
2817, 22, 27syl2an 494 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑥𝑆𝐴)𝐺((𝑦 · i)𝑆𝐴))𝑃𝐵) = (((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵) + (((𝑦 · i)𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
2913, 24, 14, 25, 10, 12, 23ipasslem9 27554 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑥 · (𝐴𝑃𝐵)))
3013, 14nvscl 27342 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → (i𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
3111, 2, 12, 30mp3an 1421 . . . . . . . . . 10 (i𝑆𝐴) ∈ 𝑋
3213, 24, 14, 25, 10, 31, 23ipasslem9 27554 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → ((𝑦𝑆(i𝑆𝐴))𝑃𝐵) = (𝑦 · ((i𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
3313, 14nvsass 27344 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋)) → ((𝑦 · i)𝑆𝐴) = (𝑦𝑆(i𝑆𝐴)))
3411, 33mpan 705 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑦 · i)𝑆𝐴) = (𝑦𝑆(i𝑆𝐴)))
352, 12, 34mp3an23 1413 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℂ → ((𝑦 · i)𝑆𝐴) = (𝑦𝑆(i𝑆𝐴)))
363, 35syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ → ((𝑦 · i)𝑆𝐴) = (𝑦𝑆(i𝑆𝐴)))
3736oveq1d 6622 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → (((𝑦 · i)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑦𝑆(i𝑆𝐴))𝑃𝐵))
3813, 25dipcl 27428 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
3911, 12, 23, 38mp3an 1421 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ
40 mulass 9971 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ) → ((𝑦 · i) · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝑦 · (i · (𝐴𝑃𝐵))))
412, 39, 40mp3an23 1413 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℂ → ((𝑦 · i) · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝑦 · (i · (𝐴𝑃𝐵))))
423, 41syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ → ((𝑦 · i) · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝑦 · (i · (𝐴𝑃𝐵))))
43 eqid 2621 . . . . . . . . . . . 12 (normCV𝑈) = (normCV𝑈)
4413, 24, 14, 25, 10, 12, 23, 43ipasslem10 27555 . . . . . . . . . . 11 ((i𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (i · (𝐴𝑃𝐵))
4544oveq2i 6618 . . . . . . . . . 10 (𝑦 · ((i𝑆𝐴)𝑃𝐵)) = (𝑦 · (i · (𝐴𝑃𝐵)))
4642, 45syl6eqr 2673 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → ((𝑦 · i) · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝑦 · ((i𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
4732, 37, 463eqtr4d 2665 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → (((𝑦 · i)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑦 · i) · (𝐴𝑃𝐵)))
4829, 47oveqan12d 6626 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵) + (((𝑦 · i)𝑆𝐴)𝑃𝐵)) = ((𝑥 · (𝐴𝑃𝐵)) + ((𝑦 · i) · (𝐴𝑃𝐵))))
4928, 48eqtrd 2655 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑥𝑆𝐴)𝐺((𝑦 · i)𝑆𝐴))𝑃𝐵) = ((𝑥 · (𝐴𝑃𝐵)) + ((𝑦 · i) · (𝐴𝑃𝐵))))
5013, 24, 14nvdir 27347 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 · i) ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋)) → ((𝑥 + (𝑦 · i))𝑆𝐴) = ((𝑥𝑆𝐴)𝐺((𝑦 · i)𝑆𝐴)))
5111, 50mpan 705 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 · i) ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑥 + (𝑦 · i))𝑆𝐴) = ((𝑥𝑆𝐴)𝐺((𝑦 · i)𝑆𝐴)))
5212, 51mp3an3 1410 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 · i) ∈ ℂ) → ((𝑥 + (𝑦 · i))𝑆𝐴) = ((𝑥𝑆𝐴)𝐺((𝑦 · i)𝑆𝐴)))
539, 19, 52syl2an 494 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 + (𝑦 · i))𝑆𝐴) = ((𝑥𝑆𝐴)𝐺((𝑦 · i)𝑆𝐴)))
5453oveq1d 6622 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑥 + (𝑦 · i))𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (((𝑥𝑆𝐴)𝐺((𝑦 · i)𝑆𝐴))𝑃𝐵))
55 adddir 9978 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 · i) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ) → ((𝑥 + (𝑦 · i)) · (𝐴𝑃𝐵)) = ((𝑥 · (𝐴𝑃𝐵)) + ((𝑦 · i) · (𝐴𝑃𝐵))))
5639, 55mp3an3 1410 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 · i) ∈ ℂ) → ((𝑥 + (𝑦 · i)) · (𝐴𝑃𝐵)) = ((𝑥 · (𝐴𝑃𝐵)) + ((𝑦 · i) · (𝐴𝑃𝐵))))
579, 19, 56syl2an 494 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 + (𝑦 · i)) · (𝐴𝑃𝐵)) = ((𝑥 · (𝐴𝑃𝐵)) + ((𝑦 · i) · (𝐴𝑃𝐵))))
5849, 54, 573eqtr4d 2665 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑥 + (𝑦 · i))𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑥 + (𝑦 · i)) · (𝐴𝑃𝐵)))
59 oveq1 6614 . . . . . . 7 (𝐶 = (𝑥 + (𝑦 · i)) → (𝐶𝑆𝐴) = ((𝑥 + (𝑦 · i))𝑆𝐴))
6059oveq1d 6622 . . . . . 6 (𝐶 = (𝑥 + (𝑦 · i)) → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (((𝑥 + (𝑦 · i))𝑆𝐴)𝑃𝐵))
61 oveq1 6614 . . . . . 6 (𝐶 = (𝑥 + (𝑦 · i)) → (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) = ((𝑥 + (𝑦 · i)) · (𝐴𝑃𝐵)))
6260, 61eqeq12d 2636 . . . . 5 (𝐶 = (𝑥 + (𝑦 · i)) → (((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ↔ (((𝑥 + (𝑦 · i))𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑥 + (𝑦 · i)) · (𝐴𝑃𝐵))))
6358, 62syl5ibrcom 237 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐶 = (𝑥 + (𝑦 · i)) → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))))
648, 63sylbid 230 . . 3 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐶 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))))
6564rexlimivv 3029 . 2 (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐶 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)))
661, 65syl 17 1 (𝐶 ∈ ℂ → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wrex 2908  cfv 5849  (class class class)co 6607  cc 9881  cr 9882  ici 9885   + caddc 9886   · cmul 9888  NrmCVeccnv 27300   +𝑣 cpv 27301  BaseSetcba 27302   ·𝑠OLD cns 27303  normCVcnmcv 27306  ·𝑖OLDcdip 27416  CPreHilOLDccphlo 27528
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-inf2 8485  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960  ax-pre-sup 9961  ax-addf 9962  ax-mulf 9963
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-int 4443  df-iun 4489  df-iin 4490  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-se 5036  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-isom 5858  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-of 6853  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-supp 7244  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-1o 7508  df-2o 7509  df-oadd 7512  df-er 7690  df-map 7807  df-ixp 7856  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-fin 7906  df-fsupp 8223  df-fi 8264  df-sup 8295  df-inf 8296  df-oi 8362  df-card 8712  df-cda 8937  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-div 10632  df-nn 10968  df-2 11026  df-3 11027  df-4 11028  df-5 11029  df-6 11030  df-7 11031  df-8 11032  df-9 11033  df-n0 11240  df-z 11325  df-dec 11441  df-uz 11635  df-q 11736  df-rp 11780  df-xneg 11893  df-xadd 11894  df-xmul 11895  df-ioo 12124  df-icc 12127  df-fz 12272  df-fzo 12410  df-seq 12745  df-exp 12804  df-hash 13061  df-cj 13776  df-re 13777  df-im 13778  df-sqrt 13912  df-abs 13913  df-clim 14156  df-sum 14354  df-struct 15786  df-ndx 15787  df-slot 15788  df-base 15789  df-sets 15790  df-ress 15791  df-plusg 15878  df-mulr 15879  df-starv 15880  df-sca 15881  df-vsca 15882  df-ip 15883  df-tset 15884  df-ple 15885  df-ds 15888  df-unif 15889  df-hom 15890  df-cco 15891  df-rest 16007  df-topn 16008  df-0g 16026  df-gsum 16027  df-topgen 16028  df-pt 16029  df-prds 16032  df-xrs 16086  df-qtop 16091  df-imas 16092  df-xps 16094  df-mre 16170  df-mrc 16171  df-acs 16173  df-mgm 17166  df-sgrp 17208  df-mnd 17219  df-submnd 17260  df-mulg 17465  df-cntz 17674  df-cmn 18119  df-psmet 19660  df-xmet 19661  df-met 19662  df-bl 19663  df-mopn 19664  df-cnfld 19669  df-top 20621  df-topon 20638  df-topsp 20651  df-bases 20664  df-cld 20736  df-ntr 20737  df-cls 20738  df-cn 20944  df-cnp 20945  df-t1 21031  df-haus 21032  df-tx 21278  df-hmeo 21471  df-xms 22038  df-ms 22039  df-tms 22040  df-grpo 27208  df-gid 27209  df-ginv 27210  df-gdiv 27211  df-ablo 27260  df-vc 27275  df-nv 27308  df-va 27311  df-ba 27312  df-sm 27313  df-0v 27314  df-vs 27315  df-nmcv 27316  df-ims 27317  df-dip 27417  df-ph 27529
This theorem is referenced by:  ipassi  27557
  Copyright terms: Public domain W3C validator