MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipasslem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipasslem4 27550
Description: Lemma for ipassi 27557. Show the inner product associative law for positive integer reciprocals. (Contributed by NM, 27-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip1i.2 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
ip1i.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
ip1i.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
ip1i.9 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ipasslem1.b 𝐵𝑋
Assertion
Ref Expression
ipasslem4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((1 / 𝑁) · (𝐴𝑃𝐵)))

Proof of Theorem ipasslem4
StepHypRef Expression
1 nnrecre 11004 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
21recnd 10015 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 𝑁) ∈ ℂ)
3 ip1i.9 . . . . . 6 𝑈 ∈ CPreHilOLD
43phnvi 27532 . . . . 5 𝑈 ∈ NrmCVec
5 ip1i.1 . . . . . 6 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
6 ip1i.4 . . . . . 6 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
75, 6nvscl 27342 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (1 / 𝑁) ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → ((1 / 𝑁)𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
84, 7mp3an1 1408 . . . 4 (((1 / 𝑁) ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → ((1 / 𝑁)𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
92, 8sylan 488 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → ((1 / 𝑁)𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
10 ipasslem1.b . . . 4 𝐵𝑋
11 ip1i.7 . . . . 5 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
125, 11dipcl 27428 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ((1 / 𝑁)𝑆𝐴) ∈ 𝑋𝐵𝑋) → (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
134, 10, 12mp3an13 1412 . . 3 (((1 / 𝑁)𝑆𝐴) ∈ 𝑋 → (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
149, 13syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
155, 11dipcl 27428 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
164, 10, 15mp3an13 1412 . . 3 (𝐴𝑋 → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
17 mulcl 9967 . . 3 (((1 / 𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ) → ((1 / 𝑁) · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℂ)
182, 16, 17syl2an 494 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → ((1 / 𝑁) · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℂ)
19 nncn 10975 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
2019adantr 481 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → 𝑁 ∈ ℂ)
21 nnne0 11000 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
2221adantr 481 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → 𝑁 ≠ 0)
2319, 21recidd 10743 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 · (1 / 𝑁)) = 1)
2423oveq1d 6622 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 · (1 / 𝑁)) · (𝐴𝑃𝐵)) = (1 · (𝐴𝑃𝐵)))
2516mulid2d 10005 . . . . 5 (𝐴𝑋 → (1 · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝐴𝑃𝐵))
2624, 25sylan9eq 2675 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁 · (1 / 𝑁)) · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝐴𝑃𝐵))
2723oveq1d 6622 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 · (1 / 𝑁))𝑆𝐴) = (1𝑆𝐴))
285, 6nvsid 27343 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (1𝑆𝐴) = 𝐴)
294, 28mpan 705 . . . . . . 7 (𝐴𝑋 → (1𝑆𝐴) = 𝐴)
3027, 29sylan9eq 2675 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁 · (1 / 𝑁))𝑆𝐴) = 𝐴)
312adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → (1 / 𝑁) ∈ ℂ)
32 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → 𝐴𝑋)
335, 6nvsass 27344 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑁) ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋)) → ((𝑁 · (1 / 𝑁))𝑆𝐴) = (𝑁𝑆((1 / 𝑁)𝑆𝐴)))
344, 33mpan 705 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑁) ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁 · (1 / 𝑁))𝑆𝐴) = (𝑁𝑆((1 / 𝑁)𝑆𝐴)))
3520, 31, 32, 34syl3anc 1323 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁 · (1 / 𝑁))𝑆𝐴) = (𝑁𝑆((1 / 𝑁)𝑆𝐴)))
3630, 35eqtr3d 2657 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → 𝐴 = (𝑁𝑆((1 / 𝑁)𝑆𝐴)))
3736oveq1d 6622 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) = ((𝑁𝑆((1 / 𝑁)𝑆𝐴))𝑃𝐵))
38 nnnn0 11246 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
3938adantr 481 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → 𝑁 ∈ ℕ0)
40 ip1i.2 . . . . . 6 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
415, 40, 6, 11, 3, 10ipasslem1 27547 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((1 / 𝑁)𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → ((𝑁𝑆((1 / 𝑁)𝑆𝐴))𝑃𝐵) = (𝑁 · (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
4239, 9, 41syl2anc 692 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁𝑆((1 / 𝑁)𝑆𝐴))𝑃𝐵) = (𝑁 · (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
4326, 37, 423eqtrd 2659 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁 · (1 / 𝑁)) · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝑁 · (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
4416adantl 482 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
4520, 31, 44mulassd 10010 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁 · (1 / 𝑁)) · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝑁 · ((1 / 𝑁) · (𝐴𝑃𝐵))))
4643, 45eqtr3d 2657 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁 · (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵)) = (𝑁 · ((1 / 𝑁) · (𝐴𝑃𝐵))))
4714, 18, 20, 22, 46mulcanad 10609 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → (((1 / 𝑁)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((1 / 𝑁) · (𝐴𝑃𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  cfv 5849  (class class class)co 6607  cc 9881  0cc0 9883  1c1 9884   · cmul 9888   / cdiv 10631  cn 10967  0cn0 11239  NrmCVeccnv 27300   +𝑣 cpv 27301  BaseSetcba 27302   ·𝑠OLD cns 27303  ·𝑖OLDcdip 27416  CPreHilOLDccphlo 27528
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-inf2 8485  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960  ax-pre-sup 9961
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-int 4443  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-se 5036  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-isom 5858  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-1o 7508  df-oadd 7512  df-er 7690  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-fin 7906  df-sup 8295  df-oi 8362  df-card 8712  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-div 10632  df-nn 10968  df-2 11026  df-3 11027  df-4 11028  df-n0 11240  df-z 11325  df-uz 11635  df-rp 11780  df-fz 12272  df-fzo 12410  df-seq 12745  df-exp 12804  df-hash 13061  df-cj 13776  df-re 13777  df-im 13778  df-sqrt 13912  df-abs 13913  df-clim 14156  df-sum 14354  df-grpo 27208  df-gid 27209  df-ginv 27210  df-ablo 27260  df-vc 27275  df-nv 27308  df-va 27311  df-ba 27312  df-sm 27313  df-0v 27314  df-nmcv 27316  df-dip 27417  df-ph 27529
This theorem is referenced by:  ipasslem5  27551
  Copyright terms: Public domain W3C validator