Theorem ipasslem4 8489

Description: Lemma for ipassi 8497. Show the inner product associative law for positive integer reciprocals.

Hypotheses

Ref	Expression
ip1i.1	⊢ X = (Base ‘U)
ip1i.2	⊢ G = ( +v ‘U)
ip1i.4	⊢ S = ( ·s ‘U)
ip1i.7	⊢ P = ( ·i ‘U)
ip1i.9	⊢ U ∈ CPreHil
ipasslem1.b	⊢ B ∈ X

Assertion

Ref	Expression
ipasslem4	⊢ ((N ∈ ℕ ⋀ A ∈ X) → (((1 / N)SA)PB) = ((1 / N) · (APB)))

Proof of Theorem ipasslem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recidt 5742	. . . . . . 7 ⊢ ((N ∈ ℂ ⋀ N ≠ 0) → (N · (1 / N)) = 1)
2		nncnt 5932	. . . . . . 7 ⊢ (N ∈ ℕ → N ∈ ℂ)
3		nnne0t 5951	. . . . . . 7 ⊢ (N ∈ ℕ → N ≠ 0)
4	1, 2, 3	sylanc 473	. . . . . 6 ⊢ (N ∈ ℕ → (N · (1 / N)) = 1)
5	4	opreq1d 3981	. . . . 5 ⊢ (N ∈ ℕ → ((N · (1 / N)) · (APB)) = (1 · (APB)))
6		ip1i.9	. . . . . . . 8 ⊢ U ∈ CPreHil
7	6	phnvi 8471	. . . . . . 7 ⊢ U ∈ NrmCVec
8		ipasslem1.b	. . . . . . 7 ⊢ B ∈ X
9		ip1i.1	. . . . . . . 8 ⊢ X = (Base ‘U)
10		ip1i.7	. . . . . . . 8 ⊢ P = ( ·i ‘U)
11	9, 10	ipcl 8361	. . . . . . 7 ⊢ ((U ∈ NrmCVec ⋀ A ∈ X ⋀ B ∈ X) → (APB) ∈ ℂ)
12	7, 8, 11	mp3an13 909	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ X → (APB) ∈ ℂ)
13		mulid2t 5429	. . . . . 6 ⊢ ((APB) ∈ ℂ → (1 · (APB)) = (APB))
14	12, 13	syl 10	. . . . 5 ⊢ (A ∈ X → (1 · (APB)) = (APB))
15	5, 14	sylan9eq 1530	. . . 4 ⊢ ((N ∈ ℕ ⋀ A ∈ X) → ((N · (1 / N)) · (APB)) = (APB))
16	4	opreq1d 3981	. . . . . . 7 ⊢ (N ∈ ℕ → ((N · (1 / N))SA) = (1SA))
17		ip1i.4	. . . . . . . . 9 ⊢ S = ( ·s ‘U)
18	9, 17	nvsid 8244	. . . . . . . 8 ⊢ ((U ∈ NrmCVec ⋀ A ∈ X) → (1SA) = A)
19	7, 18	mpan 697	. . . . . . 7 ⊢ (A ∈ X → (1SA) = A)
20	16, 19	sylan9eq 1530	. . . . . 6 ⊢ ((N ∈ ℕ ⋀ A ∈ X) → ((N · (1 / N))SA) = A)
21	9, 17	nvsass 8245	. . . . . . . 8 ⊢ ((U ∈ NrmCVec ⋀ (N ∈ ℂ ⋀ (1 / N) ∈ ℂ ⋀ A ∈ X)) → ((N · (1 / N))SA) = (NS((1 / N)SA)))
22	7, 21	mpan 697	. . . . . . 7 ⊢ ((N ∈ ℂ ⋀ (1 / N) ∈ ℂ ⋀ A ∈ X) → ((N · (1 / N))SA) = (NS((1 / N)SA)))
23	2	adantr 391	. . . . . . 7 ⊢ ((N ∈ ℕ ⋀ A ∈ X) → N ∈ ℂ)
24		nnrecret 5954	. . . . . . . . 9 ⊢ (N ∈ ℕ → (1 / N) ∈ ℝ)
25	24	recnd 5327	. . . . . . . 8 ⊢ (N ∈ ℕ → (1 / N) ∈ ℂ)
26	25	adantr 391	. . . . . . 7 ⊢ ((N ∈ ℕ ⋀ A ∈ X) → (1 / N) ∈ ℂ)
27		pm3.27 323	. . . . . . 7 ⊢ ((N ∈ ℕ ⋀ A ∈ X) → A ∈ X)
28	22, 23, 26, 27	syl3anc 860	. . . . . 6 ⊢ ((N ∈ ℕ ⋀ A ∈ X) → ((N · (1 / N))SA) = (NS((1 / N)SA)))
29	20, 28	eqtr3d 1512	. . . . 5 ⊢ ((N ∈ ℕ ⋀ A ∈ X) → A = (NS((1 / N)SA)))
30	29	opreq1d 3981	. . . 4 ⊢ ((N ∈ ℕ ⋀ A ∈ X) → (APB) = ((NS((1 / N)SA))PB))
31	15, 30	eqtr2d 1511	. . 3 ⊢ ((N ∈ ℕ ⋀ A ∈ X) → ((NS((1 / N)SA))PB) = ((N · (1 / N)) · (APB)))
32		ip1i.2	. . . . 5 ⊢ G = ( +v ‘U)
33	9, 32, 17, 10, 6, 8	ipasslem1 8486	. . . 4 ⊢ ((N ∈ ℕ0 ⋀ ((1 / N)SA) ∈ X) → ((NS((1 / N)SA))PB) = (N · (((1 / N)SA)PB)))
34		nnnn0t 6108	. . . . 5 ⊢ (N ∈ ℕ → N ∈ ℕ0)
35	34	adantr 391	. . . 4 ⊢ ((N ∈ ℕ ⋀ A ∈ X) → N ∈ ℕ0)
36	9, 17	nvscl 8243	. . . . . 6 ⊢ ((U ∈ NrmCVec ⋀ (1 / N) ∈ ℂ ⋀ A ∈ X) → ((1 / N)SA) ∈ X)
37	7, 36	mp3an1 905	. . . . 5 ⊢ (((1 / N) ∈ ℂ ⋀ A ∈ X) → ((1 / N)SA) ∈ X)
38	37, 25	sylan 450	. . . 4 ⊢ ((N ∈ ℕ ⋀ A ∈ X) → ((1 / N)SA) ∈ X)
39	33, 35, 38	sylanc 473	. . 3 ⊢ ((N ∈ ℕ ⋀ A ∈ X) → ((NS((1 / N)SA))PB) = (N · (((1 / N)SA)PB)))
40		axmulass 5290	. . . 4 ⊢ ((N ∈ ℂ ⋀ (1 / N) ∈ ℂ ⋀ (APB) ∈ ℂ) → ((N · (1 / N)) · (APB)) = (N · ((1 / N) · (APB))))
41	12	adantl 390	. . . 4 ⊢ ((N ∈ ℕ ⋀ A ∈ X) → (APB) ∈ ℂ)
42	40, 23, 26, 41	syl3anc 860	. . 3 ⊢ ((N ∈ ℕ ⋀ A ∈ X) → ((N · (1 / N)) · (APB)) = (N · ((1 / N) · (APB))))
43	31, 39, 42	3eqtr3d 1518	. 2 ⊢ ((N ∈ ℕ ⋀ A ∈ X) → (N · (((1 / N)SA)PB)) = (N · ((1 / N) · (APB))))
44		mulcantOLD 5703	. . 3 ⊢ (((N ∈ ℂ ⋀ (((1 / N)SA)PB) ∈ ℂ ⋀ ((1 / N) · (APB)) ∈ ℂ) ⋀ N ≠ 0) → ((N · (((1 / N)SA)PB)) = (N · ((1 / N) · (APB))) ↔ (((1 / N)SA)PB) = ((1 / N) · (APB))))
45	9, 10	ipcl 8361	. . . . . 6 ⊢ ((U ∈ NrmCVec ⋀ ((1 / N)SA) ∈ X ⋀ B ∈ X) → (((1 / N)SA)PB) ∈ ℂ)
46	7, 8, 45	mp3an13 909	. . . . 5 ⊢ (((1 / N)SA) ∈ X → (((1 / N)SA)PB) ∈ ℂ)
47	38, 46	syl 10	. . . 4 ⊢ ((N ∈ ℕ ⋀ A ∈ X) → (((1 / N)SA)PB) ∈ ℂ)
48		axmulcl 5285	. . . . 5 ⊢ (((1 / N) ∈ ℂ ⋀ (APB) ∈ ℂ) → ((1 / N) · (APB)) ∈ ℂ)
49	48, 25, 12	syl2an 456	. . . 4 ⊢ ((N ∈ ℕ ⋀ A ∈ X) → ((1 / N) · (APB)) ∈ ℂ)
50	23, 47, 49	3jca 821	. . 3 ⊢ ((N ∈ ℕ ⋀ A ∈ X) → (N ∈ ℂ ⋀ (((1 / N)SA)PB) ∈ ℂ ⋀ ((1 / N) · (APB)) ∈ ℂ))
51	3	adantr 391	. . 3 ⊢ ((N ∈ ℕ ⋀ A ∈ X) → N ≠ 0)
52	44, 50, 51	sylanc 473	. 2 ⊢ ((N ∈ ℕ ⋀ A ∈ X) → ((N · (((1 / N)SA)PB)) = (N · ((1 / N) · (APB))) ↔ (((1 / N)SA)PB) = ((1 / N) · (APB))))
53	43, 52	mpbid 195	1 ⊢ ((N ∈ ℕ ⋀ A ∈ X) → (((1 / N)SA)PB) = ((1 / N) · (APB)))

Syntax hints:   → wi 3   ↔ wb 146   ⋀ wa 223   ⋀ w3a 777   = wceq 958   ∈ wcel 960   ≠ wne 1588   ‘cfv 3188  (class class class)co 3969  ℂcc 5244  0cc0 5246  1c1 5247   · cmul 5251   / cdiv 5306  ℕcn 5308  ℕ₀cn0 5309  NrmCVeccnv 8199   +_v cpv 8200  Basecba 8201   ·_s cns 8202   ·_i cip 8345  CPreHilcphl 8467

This theorem is referenced by:  ipasslem5 8490

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-3 5973  df-4 5974  df-n0 6102  df-z 6138  df-seq1 6309  df-shft 6342  df-uz 6419  df-fz 6469  df-seqz 6534  df-exp 6570  df-sqr 6671  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-abs 6755  df-sum 6980  df-grp 8034  df-gid 8035  df-ginv 8036  df-abl 8096  df-vc 8161  df-nv 8207  df-va 8210  df-ba 8211  df-sm 8212  df-0v 8213  df-nm 8215  df-ip 8346  df-ph 8468

Copyright terms: Public domain