Theorem ipasslem5 28606

Description: Lemma for ipassi 28612. Show the inner product associative law for rational numbers. (Contributed by NM, 27-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ip1i.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip1i.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
ip1i.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
ip1i.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
ip1i.9	⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ipasslem1.b	⊢ 𝐵 ∈ 𝑋

Assertion

Ref	Expression
ipasslem5	⊢ ((𝐶 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)))

Proof of Theorem ipasslem5

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elq 12344	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℚ ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐶 = (𝑗 / 𝑘))
2		zcn 11980	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ ℂ)
3		nnrecre 11673	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
4	3	recnd 10663	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℂ)
5		ip1i.9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
6	5	phnvi 28587	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
7		ipasslem1.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 ∈ 𝑋
8		ip1i.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
9		ip1i.7	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
10	8, 9	dipcl 28483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
11	6, 7, 10	mp3an13 1448	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
12		mulass 10619	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ) → ((𝑗 · (1 / 𝑘)) · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝑗 · ((1 / 𝑘) · (𝐴𝑃𝐵))))
13	2, 4, 11, 12	syl3an 1156	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑗 · (1 / 𝑘)) · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝑗 · ((1 / 𝑘) · (𝐴𝑃𝐵))))
14	2	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℂ)
15		nncn 11640	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
16	15	adantl 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
17		nnne0 11665	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
18	17	adantl 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ≠ 0)
19	14, 16, 18	divrecd 11413	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑗 / 𝑘) = (𝑗 · (1 / 𝑘)))
20	19	3adant3 1128	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑗 / 𝑘) = (𝑗 · (1 / 𝑘)))
21	20	oveq1d 7165	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑗 / 𝑘) · (𝐴𝑃𝐵)) = ((𝑗 · (1 / 𝑘)) · (𝐴𝑃𝐵)))
22	20	oveq1d 7165	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑗 / 𝑘)𝑆𝐴) = ((𝑗 · (1 / 𝑘))𝑆𝐴))
23		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → 𝐴 ∈ 𝑋)
24		ip1i.4	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
25	8, 24	nvsass 28399	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑗 ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝑗 · (1 / 𝑘))𝑆𝐴) = (𝑗𝑆((1 / 𝑘)𝑆𝐴)))
26	6, 25	mpan 688	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑗 ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑗 · (1 / 𝑘))𝑆𝐴) = (𝑗𝑆((1 / 𝑘)𝑆𝐴)))
27	2, 4, 23, 26	syl3an 1156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑗 · (1 / 𝑘))𝑆𝐴) = (𝑗𝑆((1 / 𝑘)𝑆𝐴)))
28	22, 27	eqtrd 2856	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑗 / 𝑘)𝑆𝐴) = (𝑗𝑆((1 / 𝑘)𝑆𝐴)))
29	28	oveq1d 7165	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((𝑗 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑗𝑆((1 / 𝑘)𝑆𝐴))𝑃𝐵))
30	8, 24	nvscl 28397	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (1 / 𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((1 / 𝑘)𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
31	6, 30	mp3an1 1444	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 / 𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((1 / 𝑘)𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
32	4, 31	sylan 582	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((1 / 𝑘)𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
33		ip1i.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
34	8, 33, 24, 9, 5, 7	ipasslem3 28604	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ((1 / 𝑘)𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → ((𝑗𝑆((1 / 𝑘)𝑆𝐴))𝑃𝐵) = (𝑗 · (((1 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
35	32, 34	sylan2 594	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝑗𝑆((1 / 𝑘)𝑆𝐴))𝑃𝐵) = (𝑗 · (((1 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
36	35	3impb 1111	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑗𝑆((1 / 𝑘)𝑆𝐴))𝑃𝐵) = (𝑗 · (((1 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
37	8, 33, 24, 9, 5, 7	ipasslem4 28605	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((1 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((1 / 𝑘) · (𝐴𝑃𝐵)))
38	37	3adant1 1126	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((1 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((1 / 𝑘) · (𝐴𝑃𝐵)))
39	38	oveq2d 7166	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑗 · (((1 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵)) = (𝑗 · ((1 / 𝑘) · (𝐴𝑃𝐵))))
40	29, 36, 39	3eqtrd 2860	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((𝑗 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑗 · ((1 / 𝑘) · (𝐴𝑃𝐵))))
41	13, 21, 40	3eqtr4rd 2867	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((𝑗 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑗 / 𝑘) · (𝐴𝑃𝐵)))
42		oveq1 7157	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 = (𝑗 / 𝑘) → (𝐶𝑆𝐴) = ((𝑗 / 𝑘)𝑆𝐴))
43	42	oveq1d 7165	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 = (𝑗 / 𝑘) → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (((𝑗 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵))
44		oveq1 7157	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 = (𝑗 / 𝑘) → (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) = ((𝑗 / 𝑘) · (𝐴𝑃𝐵)))
45	43, 44	eqeq12d 2837	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 = (𝑗 / 𝑘) → (((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ↔ (((𝑗 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑗 / 𝑘) · (𝐴𝑃𝐵))))
46	41, 45	syl5ibrcom 249	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐶 = (𝑗 / 𝑘) → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))))
47	46	3expia 1117	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐶 = (𝑗 / 𝑘) → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)))))
48	47	com23 86	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶 = (𝑗 / 𝑘) → (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)))))
49	48	rexlimivv 3292	. . 3 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐶 = (𝑗 / 𝑘) → (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))))
50	1, 49	sylbi 219	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ℚ → (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))))
51	50	imp 409	1 ⊢ ((𝐶 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  ∃wrex 3139  ‘cfv 6350  (class class class)co 7150  ℂcc 10529  0cc0 10531  1c1 10532   · cmul 10536   / cdiv 11291  ℕcn 11632  ℤcz 11975  ℚcq 12342  NrmCVeccnv 28355   +_𝑣 cpv 28356  BaseSetcba 28357   ·_𝑠OLD cns 28358  ·_𝑖OLDcdip 28471  CPreHil_OLDccphlo 28583

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-isom 6359  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-sup 8900  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12384  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-seq 13364  df-exp 13424  df-hash 13685  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-clim 14839  df-sum 15037  df-grpo 28264  df-gid 28265  df-ginv 28266  df-ablo 28316  df-vc 28330  df-nv 28363  df-va 28366  df-ba 28367  df-sm 28368  df-0v 28369  df-nmcv 28371  df-dip 28472  df-ph 28584

This theorem is referenced by:  ipasslem8  28608