MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipassr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipassr 20114
Description: "Associative" law for second argument of inner product (compare ipass 20113). (Contributed by NM, 25-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlsrng.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
phllmhm.h , = (·𝑖𝑊)
phllmhm.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
ipdir.f 𝐾 = (Base‘𝐹)
ipass.s · = ( ·𝑠𝑊)
ipass.p × = (.r𝐹)
ipassr.i = (*𝑟𝐹)
Assertion
Ref Expression
ipassr ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝐾)) → (𝐴 , (𝐶 · 𝐵)) = ((𝐴 , 𝐵) × ( 𝐶)))

Proof of Theorem ipassr
StepHypRef Expression
1 simpl 474 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝐾)) → 𝑊 ∈ PreHil)
2 simpr3 1214 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝐾)) → 𝐶𝐾)
3 simpr2 1212 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝐾)) → 𝐵𝑉)
4 simpr1 1210 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝐾)) → 𝐴𝑉)
5 phlsrng.f . . . . . 6 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
6 phllmhm.h . . . . . 6 , = (·𝑖𝑊)
7 phllmhm.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
8 ipdir.f . . . . . 6 𝐾 = (Base‘𝐹)
9 ipass.s . . . . . 6 · = ( ·𝑠𝑊)
10 ipass.p . . . . . 6 × = (.r𝐹)
115, 6, 7, 8, 9, 10ipass 20113 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐶𝐾𝐵𝑉𝐴𝑉)) → ((𝐶 · 𝐵) , 𝐴) = (𝐶 × (𝐵 , 𝐴)))
121, 2, 3, 4, 11syl13anc 1441 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝐾)) → ((𝐶 · 𝐵) , 𝐴) = (𝐶 × (𝐵 , 𝐴)))
1312fveq2d 6308 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝐾)) → ( ‘((𝐶 · 𝐵) , 𝐴)) = ( ‘(𝐶 × (𝐵 , 𝐴))))
14 phllmod 20098 . . . . . 6 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
1514adantr 472 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝐾)) → 𝑊 ∈ LMod)
167, 5, 9, 8lmodvscl 19003 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐶𝐾𝐵𝑉) → (𝐶 · 𝐵) ∈ 𝑉)
1715, 2, 3, 16syl3anc 1439 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝐾)) → (𝐶 · 𝐵) ∈ 𝑉)
18 ipassr.i . . . . 5 = (*𝑟𝐹)
195, 6, 7, 18ipcj 20102 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐶 · 𝐵) ∈ 𝑉𝐴𝑉) → ( ‘((𝐶 · 𝐵) , 𝐴)) = (𝐴 , (𝐶 · 𝐵)))
201, 17, 4, 19syl3anc 1439 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝐾)) → ( ‘((𝐶 · 𝐵) , 𝐴)) = (𝐴 , (𝐶 · 𝐵)))
215phlsrng 20099 . . . . 5 (𝑊 ∈ PreHil → 𝐹 ∈ *-Ring)
2221adantr 472 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝐾)) → 𝐹 ∈ *-Ring)
235, 6, 7, 8ipcl 20101 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵𝑉𝐴𝑉) → (𝐵 , 𝐴) ∈ 𝐾)
241, 3, 4, 23syl3anc 1439 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝐾)) → (𝐵 , 𝐴) ∈ 𝐾)
2518, 8, 10srngmul 18981 . . . 4 ((𝐹 ∈ *-Ring ∧ 𝐶𝐾 ∧ (𝐵 , 𝐴) ∈ 𝐾) → ( ‘(𝐶 × (𝐵 , 𝐴))) = (( ‘(𝐵 , 𝐴)) × ( 𝐶)))
2622, 2, 24, 25syl3anc 1439 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝐾)) → ( ‘(𝐶 × (𝐵 , 𝐴))) = (( ‘(𝐵 , 𝐴)) × ( 𝐶)))
2713, 20, 263eqtr3d 2766 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝐾)) → (𝐴 , (𝐶 · 𝐵)) = (( ‘(𝐵 , 𝐴)) × ( 𝐶)))
285, 6, 7, 18ipcj 20102 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵𝑉𝐴𝑉) → ( ‘(𝐵 , 𝐴)) = (𝐴 , 𝐵))
291, 3, 4, 28syl3anc 1439 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝐾)) → ( ‘(𝐵 , 𝐴)) = (𝐴 , 𝐵))
3029oveq1d 6780 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝐾)) → (( ‘(𝐵 , 𝐴)) × ( 𝐶)) = ((𝐴 , 𝐵) × ( 𝐶)))
3127, 30eqtrd 2758 1 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝐾)) → (𝐴 , (𝐶 · 𝐵)) = ((𝐴 , 𝐵) × ( 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1596  wcel 2103  cfv 6001  (class class class)co 6765  Basecbs 15980  .rcmulr 16065  *𝑟cstv 16066  Scalarcsca 16067   ·𝑠 cvsca 16068  ·𝑖cip 16069  *-Ringcsr 18967  LModclmod 18986  PreHilcphl 20092
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-tpos 7472  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-er 7862  df-map 7976  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-4 11194  df-5 11195  df-6 11196  df-7 11197  df-8 11198  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-sets 15987  df-plusg 16077  df-mulr 16078  df-sca 16080  df-vsca 16081  df-ip 16082  df-0g 16225  df-mgm 17364  df-sgrp 17406  df-mnd 17417  df-mhm 17457  df-ghm 17780  df-mgp 18611  df-ur 18623  df-ring 18670  df-oppr 18744  df-rnghom 18838  df-staf 18968  df-srng 18969  df-lmod 18988  df-lmhm 19145  df-lvec 19226  df-sra 19295  df-rgmod 19296  df-phl 20094
This theorem is referenced by:  ipassr2  20115  cphassr  23133  tchcphlem2  23156
  Copyright terms: Public domain W3C validator