Theorem ipdi 20786

Description: Distributive law for inner product (left-distributivity). (Contributed by NM, 20-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
phlsrng.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
phllmhm.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
phllmhm.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ipdir.g	⊢ + = (+g‘𝑊)
ipdir.p	⊢ ⨣ = (+g‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ipdi	⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐴 , (𝐵 + 𝐶)) = ((𝐴 , 𝐵) ⨣ (𝐴 , 𝐶)))

Proof of Theorem ipdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ PreHil)
2		simpr2 1191	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐵 ∈ 𝑉)
3		simpr3 1192	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐶 ∈ 𝑉)
4		simpr1 1190	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		phlsrng.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
6		phllmhm.h	. . . . . 6 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
7		phllmhm.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
8		ipdir.g	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝑊)
9		ipdir.p	. . . . . 6 ⊢ ⨣ = (+g‘𝐹)
10	5, 6, 7, 8, 9	ipdir 20785	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉)) → ((𝐵 + 𝐶) , 𝐴) = ((𝐵 , 𝐴) ⨣ (𝐶 , 𝐴)))
11	1, 2, 3, 4, 10	syl13anc 1368	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝐵 + 𝐶) , 𝐴) = ((𝐵 , 𝐴) ⨣ (𝐶 , 𝐴)))
12	11	fveq2d 6676	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((*𝑟‘𝐹)‘((𝐵 + 𝐶) , 𝐴)) = ((*𝑟‘𝐹)‘((𝐵 , 𝐴) ⨣ (𝐶 , 𝐴))))
13	5	phlsrng 20777	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝐹 ∈ *-Ring)
14	13	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐹 ∈ *-Ring)
15		eqid 2823	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
16	5, 6, 7, 15	ipcl 20779	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐵 , 𝐴) ∈ (Base‘𝐹))
17	1, 2, 4, 16	syl3anc 1367	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐵 , 𝐴) ∈ (Base‘𝐹))
18	5, 6, 7, 15	ipcl 20779	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐶 , 𝐴) ∈ (Base‘𝐹))
19	1, 3, 4, 18	syl3anc 1367	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐶 , 𝐴) ∈ (Base‘𝐹))
20		eqid 2823	. . . . 5 ⊢ (*𝑟‘𝐹) = (*𝑟‘𝐹)
21	20, 15, 9	srngadd 19630	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ *-Ring ∧ (𝐵 , 𝐴) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝐶 , 𝐴) ∈ (Base‘𝐹)) → ((*𝑟‘𝐹)‘((𝐵 , 𝐴) ⨣ (𝐶 , 𝐴))) = (((*𝑟‘𝐹)‘(𝐵 , 𝐴)) ⨣ ((*𝑟‘𝐹)‘(𝐶 , 𝐴))))
22	14, 17, 19, 21	syl3anc 1367	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((*𝑟‘𝐹)‘((𝐵 , 𝐴) ⨣ (𝐶 , 𝐴))) = (((*𝑟‘𝐹)‘(𝐵 , 𝐴)) ⨣ ((*𝑟‘𝐹)‘(𝐶 , 𝐴))))
23	12, 22	eqtrd 2858	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((*𝑟‘𝐹)‘((𝐵 + 𝐶) , 𝐴)) = (((*𝑟‘𝐹)‘(𝐵 , 𝐴)) ⨣ ((*𝑟‘𝐹)‘(𝐶 , 𝐴))))
24		phllmod 20776	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
25	24	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
26	7, 8	lmodvacl 19650	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐵 + 𝐶) ∈ 𝑉)
27	25, 2, 3, 26	syl3anc 1367	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐵 + 𝐶) ∈ 𝑉)
28	5, 6, 7, 20	ipcj 20780	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐵 + 𝐶) ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((*𝑟‘𝐹)‘((𝐵 + 𝐶) , 𝐴)) = (𝐴 , (𝐵 + 𝐶)))
29	1, 27, 4, 28	syl3anc 1367	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((*𝑟‘𝐹)‘((𝐵 + 𝐶) , 𝐴)) = (𝐴 , (𝐵 + 𝐶)))
30	5, 6, 7, 20	ipcj 20780	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((*𝑟‘𝐹)‘(𝐵 , 𝐴)) = (𝐴 , 𝐵))
31	1, 2, 4, 30	syl3anc 1367	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((*𝑟‘𝐹)‘(𝐵 , 𝐴)) = (𝐴 , 𝐵))
32	5, 6, 7, 20	ipcj 20780	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((*𝑟‘𝐹)‘(𝐶 , 𝐴)) = (𝐴 , 𝐶))
33	1, 3, 4, 32	syl3anc 1367	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((*𝑟‘𝐹)‘(𝐶 , 𝐴)) = (𝐴 , 𝐶))
34	31, 33	oveq12d 7176	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (((*𝑟‘𝐹)‘(𝐵 , 𝐴)) ⨣ ((*𝑟‘𝐹)‘(𝐶 , 𝐴))) = ((𝐴 , 𝐵) ⨣ (𝐴 , 𝐶)))
35	23, 29, 34	3eqtr3d 2866	1 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐴 , (𝐵 + 𝐶)) = ((𝐴 , 𝐵) ⨣ (𝐴 , 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  Basecbs 16485  +_gcplusg 16567  *_𝑟cstv 16569  Scalarcsca 16570  ·_𝑖cip 16572  *-Ringcsr 19617  LModclmod 19636  PreHilcphl 20770

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-tpos 7894  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-map 8410  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-ip 16585  df-0g 16717  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-mhm 17958  df-grp 18108  df-ghm 18358  df-mgp 19242  df-ur 19254  df-ring 19301  df-oppr 19375  df-rnghom 19469  df-staf 19618  df-srng 19619  df-lmod 19638  df-lmhm 19796  df-lvec 19877  df-sra 19946  df-rgmod 19947  df-phl 20772

This theorem is referenced by:  ip2di  20787  ipsubdi  20789  cphdi  23812