MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipdi 19925
Description: Distributive law for inner product (left-distributivity). (Contributed by NM, 20-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlsrng.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
phllmhm.h , = (·𝑖𝑊)
phllmhm.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
ipdir.g + = (+g𝑊)
ipdir.p = (+g𝐹)
Assertion
Ref Expression
ipdi ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝐴 , (𝐵 + 𝐶)) = ((𝐴 , 𝐵) (𝐴 , 𝐶)))

Proof of Theorem ipdi
StepHypRef Expression
1 simpl 473 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝑊 ∈ PreHil)
2 simpr2 1066 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝐵𝑉)
3 simpr3 1067 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝐶𝑉)
4 simpr1 1065 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝐴𝑉)
5 phlsrng.f . . . . . 6 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
6 phllmhm.h . . . . . 6 , = (·𝑖𝑊)
7 phllmhm.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
8 ipdir.g . . . . . 6 + = (+g𝑊)
9 ipdir.p . . . . . 6 = (+g𝐹)
105, 6, 7, 8, 9ipdir 19924 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉𝐴𝑉)) → ((𝐵 + 𝐶) , 𝐴) = ((𝐵 , 𝐴) (𝐶 , 𝐴)))
111, 2, 3, 4, 10syl13anc 1325 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((𝐵 + 𝐶) , 𝐴) = ((𝐵 , 𝐴) (𝐶 , 𝐴)))
1211fveq2d 6162 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((*𝑟𝐹)‘((𝐵 + 𝐶) , 𝐴)) = ((*𝑟𝐹)‘((𝐵 , 𝐴) (𝐶 , 𝐴))))
135phlsrng 19916 . . . . 5 (𝑊 ∈ PreHil → 𝐹 ∈ *-Ring)
1413adantr 481 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝐹 ∈ *-Ring)
15 eqid 2621 . . . . . 6 (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
165, 6, 7, 15ipcl 19918 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵𝑉𝐴𝑉) → (𝐵 , 𝐴) ∈ (Base‘𝐹))
171, 2, 4, 16syl3anc 1323 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝐵 , 𝐴) ∈ (Base‘𝐹))
185, 6, 7, 15ipcl 19918 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐶𝑉𝐴𝑉) → (𝐶 , 𝐴) ∈ (Base‘𝐹))
191, 3, 4, 18syl3anc 1323 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝐶 , 𝐴) ∈ (Base‘𝐹))
20 eqid 2621 . . . . 5 (*𝑟𝐹) = (*𝑟𝐹)
2120, 15, 9srngadd 18797 . . . 4 ((𝐹 ∈ *-Ring ∧ (𝐵 , 𝐴) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝐶 , 𝐴) ∈ (Base‘𝐹)) → ((*𝑟𝐹)‘((𝐵 , 𝐴) (𝐶 , 𝐴))) = (((*𝑟𝐹)‘(𝐵 , 𝐴)) ((*𝑟𝐹)‘(𝐶 , 𝐴))))
2214, 17, 19, 21syl3anc 1323 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((*𝑟𝐹)‘((𝐵 , 𝐴) (𝐶 , 𝐴))) = (((*𝑟𝐹)‘(𝐵 , 𝐴)) ((*𝑟𝐹)‘(𝐶 , 𝐴))))
2312, 22eqtrd 2655 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((*𝑟𝐹)‘((𝐵 + 𝐶) , 𝐴)) = (((*𝑟𝐹)‘(𝐵 , 𝐴)) ((*𝑟𝐹)‘(𝐶 , 𝐴))))
24 phllmod 19915 . . . . 5 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
2524adantr 481 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
267, 8lmodvacl 18817 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝑉𝐶𝑉) → (𝐵 + 𝐶) ∈ 𝑉)
2725, 2, 3, 26syl3anc 1323 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝐵 + 𝐶) ∈ 𝑉)
285, 6, 7, 20ipcj 19919 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐵 + 𝐶) ∈ 𝑉𝐴𝑉) → ((*𝑟𝐹)‘((𝐵 + 𝐶) , 𝐴)) = (𝐴 , (𝐵 + 𝐶)))
291, 27, 4, 28syl3anc 1323 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((*𝑟𝐹)‘((𝐵 + 𝐶) , 𝐴)) = (𝐴 , (𝐵 + 𝐶)))
305, 6, 7, 20ipcj 19919 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵𝑉𝐴𝑉) → ((*𝑟𝐹)‘(𝐵 , 𝐴)) = (𝐴 , 𝐵))
311, 2, 4, 30syl3anc 1323 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((*𝑟𝐹)‘(𝐵 , 𝐴)) = (𝐴 , 𝐵))
325, 6, 7, 20ipcj 19919 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐶𝑉𝐴𝑉) → ((*𝑟𝐹)‘(𝐶 , 𝐴)) = (𝐴 , 𝐶))
331, 3, 4, 32syl3anc 1323 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((*𝑟𝐹)‘(𝐶 , 𝐴)) = (𝐴 , 𝐶))
3431, 33oveq12d 6633 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (((*𝑟𝐹)‘(𝐵 , 𝐴)) ((*𝑟𝐹)‘(𝐶 , 𝐴))) = ((𝐴 , 𝐵) (𝐴 , 𝐶)))
3523, 29, 343eqtr3d 2663 1 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝐴 , (𝐵 + 𝐶)) = ((𝐴 , 𝐵) (𝐴 , 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  cfv 5857  (class class class)co 6615  Basecbs 15800  +gcplusg 15881  *𝑟cstv 15883  Scalarcsca 15884  ·𝑖cip 15886  *-Ringcsr 18784  LModclmod 18803  PreHilcphl 19909
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-tpos 7312  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-map 7819  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-sca 15897  df-vsca 15898  df-ip 15899  df-0g 16042  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-mhm 17275  df-grp 17365  df-ghm 17598  df-mgp 18430  df-ur 18442  df-ring 18489  df-oppr 18563  df-rnghom 18655  df-staf 18785  df-srng 18786  df-lmod 18805  df-lmhm 18962  df-lvec 19043  df-sra 19112  df-rgmod 19113  df-phl 19911
This theorem is referenced by:  ip2di  19926  ipsubdi  19928  cphdi  22946
  Copyright terms: Public domain W3C validator