MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipdirilem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipdirilem 27545
Description: Lemma for ipdiri 27546. (Contributed by NM, 26-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip1i.2 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
ip1i.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
ip1i.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
ip1i.9 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ipdiri.8 𝐴𝑋
ipdiri.9 𝐵𝑋
ipdiri.10 𝐶𝑋
Assertion
Ref Expression
ipdirilem ((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) = ((𝐴𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐶))

Proof of Theorem ipdirilem
StepHypRef Expression
1 2cn 11038 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
2 2ne0 11060 . . . . . . 7 2 ≠ 0
31, 2recidi 10703 . . . . . 6 (2 · (1 / 2)) = 1
43oveq1i 6617 . . . . 5 ((2 · (1 / 2))𝑆(𝐴𝐺𝐵)) = (1𝑆(𝐴𝐺𝐵))
5 ip1i.9 . . . . . . 7 𝑈 ∈ CPreHilOLD
65phnvi 27532 . . . . . 6 𝑈 ∈ NrmCVec
7 halfcn 11194 . . . . . . 7 (1 / 2) ∈ ℂ
8 ipdiri.8 . . . . . . . 8 𝐴𝑋
9 ipdiri.9 . . . . . . . 8 𝐵𝑋
10 ip1i.1 . . . . . . . . 9 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
11 ip1i.2 . . . . . . . . 9 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
1210, 11nvgcl 27336 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋)
136, 8, 9, 12mp3an 1421 . . . . . . 7 (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋
141, 7, 133pm3.2i 1237 . . . . . 6 (2 ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋)
15 ip1i.4 . . . . . . 7 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
1610, 15nvsass 27344 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (2 ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋)) → ((2 · (1 / 2))𝑆(𝐴𝐺𝐵)) = (2𝑆((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵))))
176, 14, 16mp2an 707 . . . . 5 ((2 · (1 / 2))𝑆(𝐴𝐺𝐵)) = (2𝑆((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵)))
1810, 15nvsid 27343 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋) → (1𝑆(𝐴𝐺𝐵)) = (𝐴𝐺𝐵))
196, 13, 18mp2an 707 . . . . 5 (1𝑆(𝐴𝐺𝐵)) = (𝐴𝐺𝐵)
204, 17, 193eqtr3i 2651 . . . 4 (2𝑆((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵))) = (𝐴𝐺𝐵)
2120oveq1i 6617 . . 3 ((2𝑆((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵)))𝑃𝐶) = ((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶)
22 ip1i.7 . . . 4 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
2310, 15nvscl 27342 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋) → ((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵)) ∈ 𝑋)
246, 7, 13, 23mp3an 1421 . . . 4 ((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵)) ∈ 𝑋
25 ipdiri.10 . . . 4 𝐶𝑋
2610, 11, 15, 22, 5, 24, 25ip2i 27544 . . 3 ((2𝑆((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵)))𝑃𝐶) = (2 · (((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵))𝑃𝐶))
2721, 26eqtr3i 2645 . 2 ((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) = (2 · (((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵))𝑃𝐶))
28 neg1cn 11071 . . . . . 6 -1 ∈ ℂ
2910, 15nvscl 27342 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋) → (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
306, 28, 9, 29mp3an 1421 . . . . 5 (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋
3110, 11nvgcl 27336 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋 ∧ (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋)
326, 8, 30, 31mp3an 1421 . . . 4 (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋
3310, 15nvscl 27342 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋) → ((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) ∈ 𝑋)
346, 7, 32, 33mp3an 1421 . . 3 ((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) ∈ 𝑋
3510, 11, 15, 22, 5, 24, 34, 25ip1i 27543 . 2 (((((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵))𝐺((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))))𝑃𝐶) + ((((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵))𝐺(-1𝑆((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))))𝑃𝐶)) = (2 · (((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵))𝑃𝐶))
36 eqid 2621 . . . . . . . . . . . 12 (1st𝑈) = (1st𝑈)
3736nvvc 27331 . . . . . . . . . . 11 (𝑈 ∈ NrmCVec → (1st𝑈) ∈ CVecOLD)
386, 37ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (1st𝑈) ∈ CVecOLD
3911vafval 27319 . . . . . . . . . . 11 𝐺 = (1st ‘(1st𝑈))
4039vcablo 27285 . . . . . . . . . 10 ((1st𝑈) ∈ CVecOLD𝐺 ∈ AbelOp)
4138, 40ax-mp 5 . . . . . . . . 9 𝐺 ∈ AbelOp
428, 9pm3.2i 471 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑋𝐵𝑋)
438, 30pm3.2i 471 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑋 ∧ (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
4410, 11bafval 27320 . . . . . . . . . 10 𝑋 = ran 𝐺
4544ablo4 27265 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ AbelOp ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝐴𝑋 ∧ (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) = ((𝐴𝐺𝐴)𝐺(𝐵𝐺(-1𝑆𝐵))))
4641, 42, 43, 45mp3an 1421 . . . . . . . 8 ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) = ((𝐴𝐺𝐴)𝐺(𝐵𝐺(-1𝑆𝐵)))
4715smfval 27321 . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (2nd ‘(1st𝑈))
4839, 47, 44vc2OLD 27284 . . . . . . . . . 10 (((1st𝑈) ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → (𝐴𝐺𝐴) = (2𝑆𝐴))
4938, 8, 48mp2an 707 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐺𝐴) = (2𝑆𝐴)
50 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 (0vec𝑈) = (0vec𝑈)
5110, 11, 15, 50nvrinv 27367 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋) → (𝐵𝐺(-1𝑆𝐵)) = (0vec𝑈))
526, 9, 51mp2an 707 . . . . . . . . 9 (𝐵𝐺(-1𝑆𝐵)) = (0vec𝑈)
5349, 52oveq12i 6619 . . . . . . . 8 ((𝐴𝐺𝐴)𝐺(𝐵𝐺(-1𝑆𝐵))) = ((2𝑆𝐴)𝐺(0vec𝑈))
5410, 15nvscl 27342 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → (2𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
556, 1, 8, 54mp3an 1421 . . . . . . . . 9 (2𝑆𝐴) ∈ 𝑋
5610, 11, 50nv0rid 27351 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (2𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → ((2𝑆𝐴)𝐺(0vec𝑈)) = (2𝑆𝐴))
576, 55, 56mp2an 707 . . . . . . . 8 ((2𝑆𝐴)𝐺(0vec𝑈)) = (2𝑆𝐴)
5846, 53, 573eqtri 2647 . . . . . . 7 ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) = (2𝑆𝐴)
5958oveq2i 6618 . . . . . 6 ((1 / 2)𝑆((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))) = ((1 / 2)𝑆(2𝑆𝐴))
607, 1, 83pm3.2i 1237 . . . . . . 7 ((1 / 2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋)
6110, 15nvsass 27344 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ((1 / 2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋)) → (((1 / 2) · 2)𝑆𝐴) = ((1 / 2)𝑆(2𝑆𝐴)))
626, 60, 61mp2an 707 . . . . . 6 (((1 / 2) · 2)𝑆𝐴) = ((1 / 2)𝑆(2𝑆𝐴))
6359, 62eqtr4i 2646 . . . . 5 ((1 / 2)𝑆((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))) = (((1 / 2) · 2)𝑆𝐴)
647, 13, 323pm3.2i 1237 . . . . . 6 ((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋)
6510, 11, 15nvdi 27346 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋)) → ((1 / 2)𝑆((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))) = (((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵))𝐺((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))))
666, 64, 65mp2an 707 . . . . 5 ((1 / 2)𝑆((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))) = (((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵))𝐺((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))))
67 ax-1cn 9941 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
6867, 1, 2divcan1i 10716 . . . . . . 7 ((1 / 2) · 2) = 1
6968oveq1i 6617 . . . . . 6 (((1 / 2) · 2)𝑆𝐴) = (1𝑆𝐴)
7010, 15nvsid 27343 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (1𝑆𝐴) = 𝐴)
716, 8, 70mp2an 707 . . . . . 6 (1𝑆𝐴) = 𝐴
7269, 71eqtri 2643 . . . . 5 (((1 / 2) · 2)𝑆𝐴) = 𝐴
7363, 66, 723eqtr3i 2651 . . . 4 (((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵))𝐺((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))) = 𝐴
7473oveq1i 6617 . . 3 ((((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵))𝐺((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))))𝑃𝐶) = (𝐴𝑃𝐶)
7528, 7mulcomi 9993 . . . . . . . . 9 (-1 · (1 / 2)) = ((1 / 2) · -1)
7675oveq1i 6617 . . . . . . . 8 ((-1 · (1 / 2))𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) = (((1 / 2) · -1)𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))
7728, 7, 323pm3.2i 1237 . . . . . . . . 9 (-1 ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋)
7810, 15nvsass 27344 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (-1 ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋)) → ((-1 · (1 / 2))𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) = (-1𝑆((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))))
796, 77, 78mp2an 707 . . . . . . . 8 ((-1 · (1 / 2))𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) = (-1𝑆((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))))
807, 28, 323pm3.2i 1237 . . . . . . . . . 10 ((1 / 2) ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋)
8110, 15nvsass 27344 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ((1 / 2) ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋)) → (((1 / 2) · -1)𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) = ((1 / 2)𝑆(-1𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))))
826, 80, 81mp2an 707 . . . . . . . . 9 (((1 / 2) · -1)𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) = ((1 / 2)𝑆(-1𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))))
8328, 8, 303pm3.2i 1237 . . . . . . . . . . . 12 (-1 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋 ∧ (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
8410, 11, 15nvdi 27346 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (-1 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋 ∧ (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋)) → (-1𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) = ((-1𝑆𝐴)𝐺(-1𝑆(-1𝑆𝐵))))
856, 83, 84mp2an 707 . . . . . . . . . . 11 (-1𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) = ((-1𝑆𝐴)𝐺(-1𝑆(-1𝑆𝐵)))
86 neg1mulneg1e1 11192 . . . . . . . . . . . . . 14 (-1 · -1) = 1
8786oveq1i 6617 . . . . . . . . . . . . 13 ((-1 · -1)𝑆𝐵) = (1𝑆𝐵)
8828, 28, 93pm3.2i 1237 . . . . . . . . . . . . . 14 (-1 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋)
8910, 15nvsass 27344 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (-1 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋)) → ((-1 · -1)𝑆𝐵) = (-1𝑆(-1𝑆𝐵)))
906, 88, 89mp2an 707 . . . . . . . . . . . . 13 ((-1 · -1)𝑆𝐵) = (-1𝑆(-1𝑆𝐵))
9110, 15nvsid 27343 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋) → (1𝑆𝐵) = 𝐵)
926, 9, 91mp2an 707 . . . . . . . . . . . . 13 (1𝑆𝐵) = 𝐵
9387, 90, 923eqtr3i 2651 . . . . . . . . . . . 12 (-1𝑆(-1𝑆𝐵)) = 𝐵
9493oveq2i 6618 . . . . . . . . . . 11 ((-1𝑆𝐴)𝐺(-1𝑆(-1𝑆𝐵))) = ((-1𝑆𝐴)𝐺𝐵)
9585, 94eqtri 2643 . . . . . . . . . 10 (-1𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) = ((-1𝑆𝐴)𝐺𝐵)
9695oveq2i 6618 . . . . . . . . 9 ((1 / 2)𝑆(-1𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))) = ((1 / 2)𝑆((-1𝑆𝐴)𝐺𝐵))
9782, 96eqtri 2643 . . . . . . . 8 (((1 / 2) · -1)𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) = ((1 / 2)𝑆((-1𝑆𝐴)𝐺𝐵))
9876, 79, 973eqtr3i 2651 . . . . . . 7 (-1𝑆((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))) = ((1 / 2)𝑆((-1𝑆𝐴)𝐺𝐵))
9998oveq2i 6618 . . . . . 6 (((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵))𝐺(-1𝑆((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))))) = (((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵))𝐺((1 / 2)𝑆((-1𝑆𝐴)𝐺𝐵)))
10010, 15nvscl 27342 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
1016, 28, 8, 100mp3an 1421 . . . . . . . . 9 (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋
10210, 11nvgcl 27336 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋𝐵𝑋) → ((-1𝑆𝐴)𝐺𝐵) ∈ 𝑋)
1036, 101, 9, 102mp3an 1421 . . . . . . . 8 ((-1𝑆𝐴)𝐺𝐵) ∈ 𝑋
1047, 13, 1033pm3.2i 1237 . . . . . . 7 ((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋 ∧ ((-1𝑆𝐴)𝐺𝐵) ∈ 𝑋)
10510, 11, 15nvdi 27346 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋 ∧ ((-1𝑆𝐴)𝐺𝐵) ∈ 𝑋)) → ((1 / 2)𝑆((𝐴𝐺𝐵)𝐺((-1𝑆𝐴)𝐺𝐵))) = (((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵))𝐺((1 / 2)𝑆((-1𝑆𝐴)𝐺𝐵))))
1066, 104, 105mp2an 707 . . . . . 6 ((1 / 2)𝑆((𝐴𝐺𝐵)𝐺((-1𝑆𝐴)𝐺𝐵))) = (((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵))𝐺((1 / 2)𝑆((-1𝑆𝐴)𝐺𝐵)))
10799, 106eqtr4i 2646 . . . . 5 (((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵))𝐺(-1𝑆((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))))) = ((1 / 2)𝑆((𝐴𝐺𝐵)𝐺((-1𝑆𝐴)𝐺𝐵)))
108101, 9pm3.2i 471 . . . . . . . . 9 ((-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋𝐵𝑋)
10944ablo4 27265 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ AbelOp ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋𝐵𝑋)) → ((𝐴𝐺𝐵)𝐺((-1𝑆𝐴)𝐺𝐵)) = ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝐺(𝐵𝐺𝐵)))
11041, 42, 108, 109mp3an 1421 . . . . . . . 8 ((𝐴𝐺𝐵)𝐺((-1𝑆𝐴)𝐺𝐵)) = ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝐺(𝐵𝐺𝐵))
11110, 11, 15, 50nvrinv 27367 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝐺(-1𝑆𝐴)) = (0vec𝑈))
1126, 8, 111mp2an 707 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐺(-1𝑆𝐴)) = (0vec𝑈)
113112oveq1i 6617 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝐺(𝐵𝐺𝐵)) = ((0vec𝑈)𝐺(𝐵𝐺𝐵))
11410, 11nvgcl 27336 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋𝐵𝑋) → (𝐵𝐺𝐵) ∈ 𝑋)
1156, 9, 9, 114mp3an 1421 . . . . . . . . . 10 (𝐵𝐺𝐵) ∈ 𝑋
11610, 11, 50nv0lid 27352 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐵𝐺𝐵) ∈ 𝑋) → ((0vec𝑈)𝐺(𝐵𝐺𝐵)) = (𝐵𝐺𝐵))
1176, 115, 116mp2an 707 . . . . . . . . 9 ((0vec𝑈)𝐺(𝐵𝐺𝐵)) = (𝐵𝐺𝐵)
118113, 117eqtri 2643 . . . . . . . 8 ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝐺(𝐵𝐺𝐵)) = (𝐵𝐺𝐵)
11939, 47, 44vc2OLD 27284 . . . . . . . . 9 (((1st𝑈) ∈ CVecOLD𝐵𝑋) → (𝐵𝐺𝐵) = (2𝑆𝐵))
12038, 9, 119mp2an 707 . . . . . . . 8 (𝐵𝐺𝐵) = (2𝑆𝐵)
121110, 118, 1203eqtri 2647 . . . . . . 7 ((𝐴𝐺𝐵)𝐺((-1𝑆𝐴)𝐺𝐵)) = (2𝑆𝐵)
122121oveq2i 6618 . . . . . 6 ((1 / 2)𝑆((𝐴𝐺𝐵)𝐺((-1𝑆𝐴)𝐺𝐵))) = ((1 / 2)𝑆(2𝑆𝐵))
1237, 1, 93pm3.2i 1237 . . . . . . 7 ((1 / 2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋)
12410, 15nvsass 27344 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ((1 / 2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋)) → (((1 / 2) · 2)𝑆𝐵) = ((1 / 2)𝑆(2𝑆𝐵)))
1256, 123, 124mp2an 707 . . . . . 6 (((1 / 2) · 2)𝑆𝐵) = ((1 / 2)𝑆(2𝑆𝐵))
12668oveq1i 6617 . . . . . 6 (((1 / 2) · 2)𝑆𝐵) = (1𝑆𝐵)
127122, 125, 1263eqtr2i 2649 . . . . 5 ((1 / 2)𝑆((𝐴𝐺𝐵)𝐺((-1𝑆𝐴)𝐺𝐵))) = (1𝑆𝐵)
128107, 127, 923eqtri 2647 . . . 4 (((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵))𝐺(-1𝑆((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))))) = 𝐵
129128oveq1i 6617 . . 3 ((((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵))𝐺(-1𝑆((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))))𝑃𝐶) = (𝐵𝑃𝐶)
13074, 129oveq12i 6619 . 2 (((((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵))𝐺((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))))𝑃𝐶) + ((((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵))𝐺(-1𝑆((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))))𝑃𝐶)) = ((𝐴𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐶))
13127, 35, 1303eqtr2i 2649 1 ((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) = ((𝐴𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  cfv 5849  (class class class)co 6607  1st c1st 7114  cc 9881  1c1 9884   + caddc 9886   · cmul 9888  -cneg 10214   / cdiv 10631  2c2 11017  AbelOpcablo 27259  CVecOLDcvc 27274  NrmCVeccnv 27300   +𝑣 cpv 27301  BaseSetcba 27302   ·𝑠OLD cns 27303  0veccn0v 27304  ·𝑖OLDcdip 27416  CPreHilOLDccphlo 27528
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-inf2 8485  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960  ax-pre-sup 9961
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-int 4443  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-se 5036  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-isom 5858  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-1o 7508  df-oadd 7512  df-er 7690  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-fin 7906  df-sup 8295  df-oi 8362  df-card 8712  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-div 10632  df-nn 10968  df-2 11026  df-3 11027  df-4 11028  df-n0 11240  df-z 11325  df-uz 11635  df-rp 11780  df-fz 12272  df-fzo 12410  df-seq 12745  df-exp 12804  df-hash 13061  df-cj 13776  df-re 13777  df-im 13778  df-sqrt 13912  df-abs 13913  df-clim 14156  df-sum 14354  df-grpo 27208  df-gid 27209  df-ginv 27210  df-ablo 27260  df-vc 27275  df-nv 27308  df-va 27311  df-ba 27312  df-sm 27313  df-0v 27314  df-nmcv 27316  df-dip 27417  df-ph 27529
This theorem is referenced by:  ipdiri  27546
  Copyright terms: Public domain W3C validator