Theorem ipeq0 20031

Description: The inner product of a vector with itself is zero iff the vector is zero. Part of Definition 3.1-1 of [Kreyszig] p. 129. (Contributed by NM, 24-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
phlsrng.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
phllmhm.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
phllmhm.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ip0l.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝐹)
ip0l.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ipeq0	⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((𝐴 , 𝐴) = 𝑍 ↔ 𝐴 = 0 ))

Proof of Theorem ipeq0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phllmhm.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		phlsrng.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
3		phllmhm.h	. . . . . 6 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
4		ip0l.o	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
5		eqid 2651	. . . . . 6 ⊢ (*𝑟‘𝐹) = (*𝑟‘𝐹)
6		ip0l.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝐹)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	isphl 20021	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil ↔ (𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ *-Ring ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (𝑦 , 𝑥)) ∈ (𝑊 LMHom (ringLMod‘𝐹)) ∧ ((𝑥 , 𝑥) = 𝑍 → 𝑥 = 0 ) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑉 ((*𝑟‘𝐹)‘(𝑥 , 𝑦)) = (𝑦 , 𝑥))))
8	7	simp3bi 1098	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (𝑦 , 𝑥)) ∈ (𝑊 LMHom (ringLMod‘𝐹)) ∧ ((𝑥 , 𝑥) = 𝑍 → 𝑥 = 0 ) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑉 ((*𝑟‘𝐹)‘(𝑥 , 𝑦)) = (𝑦 , 𝑥)))
9		simp2 1082	. . . . 5 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (𝑦 , 𝑥)) ∈ (𝑊 LMHom (ringLMod‘𝐹)) ∧ ((𝑥 , 𝑥) = 𝑍 → 𝑥 = 0 ) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑉 ((*𝑟‘𝐹)‘(𝑥 , 𝑦)) = (𝑦 , 𝑥)) → ((𝑥 , 𝑥) = 𝑍 → 𝑥 = 0 ))
10	9	ralimi 2981	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (𝑦 , 𝑥)) ∈ (𝑊 LMHom (ringLMod‘𝐹)) ∧ ((𝑥 , 𝑥) = 𝑍 → 𝑥 = 0 ) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑉 ((*𝑟‘𝐹)‘(𝑥 , 𝑦)) = (𝑦 , 𝑥)) → ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝑥 , 𝑥) = 𝑍 → 𝑥 = 0 ))
11	8, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝑥 , 𝑥) = 𝑍 → 𝑥 = 0 ))
12		oveq12 6699	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝑥 , 𝑥) = (𝐴 , 𝐴))
13	12	anidms 678	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 , 𝑥) = (𝐴 , 𝐴))
14	13	eqeq1d 2653	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 , 𝑥) = 𝑍 ↔ (𝐴 , 𝐴) = 𝑍))
15		eqeq1 2655	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 = 0 ↔ 𝐴 = 0 ))
16	14, 15	imbi12d 333	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (((𝑥 , 𝑥) = 𝑍 → 𝑥 = 0 ) ↔ ((𝐴 , 𝐴) = 𝑍 → 𝐴 = 0 )))
17	16	rspccva 3339	. . 3 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝑥 , 𝑥) = 𝑍 → 𝑥 = 0 ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((𝐴 , 𝐴) = 𝑍 → 𝐴 = 0 ))
18	11, 17	sylan 487	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((𝐴 , 𝐴) = 𝑍 → 𝐴 = 0 ))
19	2, 3, 1, 6, 4	ip0l 20029	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ( 0 , 𝐴) = 𝑍)
20		oveq1 6697	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 , 𝐴) = ( 0 , 𝐴))
21	20	eqeq1d 2653	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐴 , 𝐴) = 𝑍 ↔ ( 0 , 𝐴) = 𝑍))
22	19, 21	syl5ibrcom 237	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 = 0 → (𝐴 , 𝐴) = 𝑍))
23	18, 22	impbid 202	1 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((𝐴 , 𝐴) = 𝑍 ↔ 𝐴 = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941   ↦ cmpt 4762  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  *_𝑟cstv 15990  Scalarcsca 15991  ·_𝑖cip 15993  0_gc0g 16147  *-Ringcsr 18892   LMHom clmhm 19067  LVecclvec 19150  ringLModcrglmod 19217  PreHilcphl 20017

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-plusg 16001  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-ghm 17705  df-lmod 18913  df-lmhm 19070  df-lvec 19151  df-sra 19220  df-rgmod 19221  df-phl 20019

This theorem is referenced by:  ip2eq  20046  ocvin  20066  lsmcss  20084  obsne0  20117  cphipeq0  23050  ipcau2  23079  tchcph  23082