MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipeq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipeq0 20031
Description: The inner product of a vector with itself is zero iff the vector is zero. Part of Definition 3.1-1 of [Kreyszig] p. 129. (Contributed by NM, 24-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlsrng.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
phllmhm.h , = (·𝑖𝑊)
phllmhm.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
ip0l.z 𝑍 = (0g𝐹)
ip0l.o 0 = (0g𝑊)
Assertion
Ref Expression
ipeq0 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉) → ((𝐴 , 𝐴) = 𝑍𝐴 = 0 ))

Proof of Theorem ipeq0
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 phllmhm.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 phlsrng.f . . . . . 6 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
3 phllmhm.h . . . . . 6 , = (·𝑖𝑊)
4 ip0l.o . . . . . 6 0 = (0g𝑊)
5 eqid 2651 . . . . . 6 (*𝑟𝐹) = (*𝑟𝐹)
6 ip0l.z . . . . . 6 𝑍 = (0g𝐹)
71, 2, 3, 4, 5, 6isphl 20021 . . . . 5 (𝑊 ∈ PreHil ↔ (𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ *-Ring ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝑦𝑉 ↦ (𝑦 , 𝑥)) ∈ (𝑊 LMHom (ringLMod‘𝐹)) ∧ ((𝑥 , 𝑥) = 𝑍𝑥 = 0 ) ∧ ∀𝑦𝑉 ((*𝑟𝐹)‘(𝑥 , 𝑦)) = (𝑦 , 𝑥))))
87simp3bi 1098 . . . 4 (𝑊 ∈ PreHil → ∀𝑥𝑉 ((𝑦𝑉 ↦ (𝑦 , 𝑥)) ∈ (𝑊 LMHom (ringLMod‘𝐹)) ∧ ((𝑥 , 𝑥) = 𝑍𝑥 = 0 ) ∧ ∀𝑦𝑉 ((*𝑟𝐹)‘(𝑥 , 𝑦)) = (𝑦 , 𝑥)))
9 simp2 1082 . . . . 5 (((𝑦𝑉 ↦ (𝑦 , 𝑥)) ∈ (𝑊 LMHom (ringLMod‘𝐹)) ∧ ((𝑥 , 𝑥) = 𝑍𝑥 = 0 ) ∧ ∀𝑦𝑉 ((*𝑟𝐹)‘(𝑥 , 𝑦)) = (𝑦 , 𝑥)) → ((𝑥 , 𝑥) = 𝑍𝑥 = 0 ))
109ralimi 2981 . . . 4 (∀𝑥𝑉 ((𝑦𝑉 ↦ (𝑦 , 𝑥)) ∈ (𝑊 LMHom (ringLMod‘𝐹)) ∧ ((𝑥 , 𝑥) = 𝑍𝑥 = 0 ) ∧ ∀𝑦𝑉 ((*𝑟𝐹)‘(𝑥 , 𝑦)) = (𝑦 , 𝑥)) → ∀𝑥𝑉 ((𝑥 , 𝑥) = 𝑍𝑥 = 0 ))
118, 10syl 17 . . 3 (𝑊 ∈ PreHil → ∀𝑥𝑉 ((𝑥 , 𝑥) = 𝑍𝑥 = 0 ))
12 oveq12 6699 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝐴𝑥 = 𝐴) → (𝑥 , 𝑥) = (𝐴 , 𝐴))
1312anidms 678 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 , 𝑥) = (𝐴 , 𝐴))
1413eqeq1d 2653 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 , 𝑥) = 𝑍 ↔ (𝐴 , 𝐴) = 𝑍))
15 eqeq1 2655 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 = 0𝐴 = 0 ))
1614, 15imbi12d 333 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (((𝑥 , 𝑥) = 𝑍𝑥 = 0 ) ↔ ((𝐴 , 𝐴) = 𝑍𝐴 = 0 )))
1716rspccva 3339 . . 3 ((∀𝑥𝑉 ((𝑥 , 𝑥) = 𝑍𝑥 = 0 ) ∧ 𝐴𝑉) → ((𝐴 , 𝐴) = 𝑍𝐴 = 0 ))
1811, 17sylan 487 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉) → ((𝐴 , 𝐴) = 𝑍𝐴 = 0 ))
192, 3, 1, 6, 4ip0l 20029 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉) → ( 0 , 𝐴) = 𝑍)
20 oveq1 6697 . . . 4 (𝐴 = 0 → (𝐴 , 𝐴) = ( 0 , 𝐴))
2120eqeq1d 2653 . . 3 (𝐴 = 0 → ((𝐴 , 𝐴) = 𝑍 ↔ ( 0 , 𝐴) = 𝑍))
2219, 21syl5ibrcom 237 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴 = 0 → (𝐴 , 𝐴) = 𝑍))
2318, 22impbid 202 1 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉) → ((𝐴 , 𝐴) = 𝑍𝐴 = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  cmpt 4762  cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  *𝑟cstv 15990  Scalarcsca 15991  ·𝑖cip 15993  0gc0g 16147  *-Ringcsr 18892   LMHom clmhm 19067  LVecclvec 19150  ringLModcrglmod 19217  PreHilcphl 20017
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-plusg 16001  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-ghm 17705  df-lmod 18913  df-lmhm 19070  df-lvec 19151  df-sra 19220  df-rgmod 19221  df-phl 20019
This theorem is referenced by:  ip2eq  20046  ocvin  20066  lsmcss  20084  obsne0  20117  cphipeq0  23050  ipcau2  23079  tchcph  23082
  Copyright terms: Public domain W3C validator