Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipodrsima Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipodrsima 17093
 Description: The monotone image of a directed set. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ipodrsima.f (𝜑𝐹 Fn 𝒫 𝐴)
ipodrsima.m ((𝜑 ∧ (𝑢𝑣𝑣𝐴)) → (𝐹𝑢) ⊆ (𝐹𝑣))
ipodrsima.d (𝜑 → (toInc‘𝐵) ∈ Dirset)
ipodrsima.s (𝜑𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴)
ipodrsima.a (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
ipodrsima (𝜑 → (toInc‘(𝐹𝐵)) ∈ Dirset)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑢,𝑣   𝑢,𝐴,𝑣   𝑢,𝐹,𝑣
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑣,𝑢)   𝑉(𝑣,𝑢)

Proof of Theorem ipodrsima
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ipodrsima.a . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ 𝑉)
2 elex 3201 . . 3 ((𝐹𝐵) ∈ 𝑉 → (𝐹𝐵) ∈ V)
31, 2syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ V)
4 ipodrsima.d . . . . 5 (𝜑 → (toInc‘𝐵) ∈ Dirset)
5 isipodrs 17089 . . . . 5 ((toInc‘𝐵) ∈ Dirset ↔ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵 (𝑎𝑏) ⊆ 𝑐))
64, 5sylib 208 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵 (𝑎𝑏) ⊆ 𝑐))
76simp2d 1072 . . 3 (𝜑𝐵 ≠ ∅)
8 ipodrsima.f . . . . 5 (𝜑𝐹 Fn 𝒫 𝐴)
9 ipodrsima.s . . . . 5 (𝜑𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴)
10 fnimaeq0 5975 . . . . 5 ((𝐹 Fn 𝒫 𝐴𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴) → ((𝐹𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 = ∅))
118, 9, 10syl2anc 692 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 = ∅))
1211necon3bid 2834 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝐵) ≠ ∅ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
137, 12mpbird 247 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐵) ≠ ∅)
146simp3d 1073 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵 (𝑎𝑏) ⊆ 𝑐)
15 simplll 797 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑏𝐵𝑐𝐵)) ∧ 𝑎𝑐) → 𝜑)
16 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑏𝐵𝑐𝐵)) ∧ 𝑎𝑐) → 𝑎𝑐)
179ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑏𝐵𝑐𝐵)) → 𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴)
18 simprr 795 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑏𝐵𝑐𝐵)) → 𝑐𝐵)
1917, 18sseldd 3588 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑏𝐵𝑐𝐵)) → 𝑐 ∈ 𝒫 𝐴)
2019elpwid 4146 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑏𝐵𝑐𝐵)) → 𝑐𝐴)
2120adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑏𝐵𝑐𝐵)) ∧ 𝑎𝑐) → 𝑐𝐴)
22 vex 3192 . . . . . . . . . . . . 13 𝑎 ∈ V
23 vex 3192 . . . . . . . . . . . . 13 𝑐 ∈ V
24 sseq12 3612 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑢 = 𝑎𝑣 = 𝑐) → (𝑢𝑣𝑎𝑐))
25 sseq1 3610 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑣 = 𝑐 → (𝑣𝐴𝑐𝐴))
2625adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑢 = 𝑎𝑣 = 𝑐) → (𝑣𝐴𝑐𝐴))
2724, 26anbi12d 746 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑢 = 𝑎𝑣 = 𝑐) → ((𝑢𝑣𝑣𝐴) ↔ (𝑎𝑐𝑐𝐴)))
2827anbi2d 739 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢 = 𝑎𝑣 = 𝑐) → ((𝜑 ∧ (𝑢𝑣𝑣𝐴)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑎𝑐𝑐𝐴))))
29 fveq2 6153 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 = 𝑎 → (𝐹𝑢) = (𝐹𝑎))
30 fveq2 6153 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 = 𝑐 → (𝐹𝑣) = (𝐹𝑐))
31 sseq12 3612 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹𝑢) = (𝐹𝑎) ∧ (𝐹𝑣) = (𝐹𝑐)) → ((𝐹𝑢) ⊆ (𝐹𝑣) ↔ (𝐹𝑎) ⊆ (𝐹𝑐)))
3229, 30, 31syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢 = 𝑎𝑣 = 𝑐) → ((𝐹𝑢) ⊆ (𝐹𝑣) ↔ (𝐹𝑎) ⊆ (𝐹𝑐)))
3328, 32imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢 = 𝑎𝑣 = 𝑐) → (((𝜑 ∧ (𝑢𝑣𝑣𝐴)) → (𝐹𝑢) ⊆ (𝐹𝑣)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑎𝑐𝑐𝐴)) → (𝐹𝑎) ⊆ (𝐹𝑐))))
34 ipodrsima.m . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑢𝑣𝑣𝐴)) → (𝐹𝑢) ⊆ (𝐹𝑣))
3522, 23, 33, 34vtocl2 3250 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑐𝑐𝐴)) → (𝐹𝑎) ⊆ (𝐹𝑐))
3615, 16, 21, 35syl12anc 1321 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑏𝐵𝑐𝐵)) ∧ 𝑎𝑐) → (𝐹𝑎) ⊆ (𝐹𝑐))
3736ex 450 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑏𝐵𝑐𝐵)) → (𝑎𝑐 → (𝐹𝑎) ⊆ (𝐹𝑐)))
38 simplll 797 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑏𝐵𝑐𝐵)) ∧ 𝑏𝑐) → 𝜑)
39 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑏𝐵𝑐𝐵)) ∧ 𝑏𝑐) → 𝑏𝑐)
4020adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑏𝐵𝑐𝐵)) ∧ 𝑏𝑐) → 𝑐𝐴)
41 vex 3192 . . . . . . . . . . . . 13 𝑏 ∈ V
42 sseq12 3612 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑢 = 𝑏𝑣 = 𝑐) → (𝑢𝑣𝑏𝑐))
4325adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑢 = 𝑏𝑣 = 𝑐) → (𝑣𝐴𝑐𝐴))
4442, 43anbi12d 746 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑢 = 𝑏𝑣 = 𝑐) → ((𝑢𝑣𝑣𝐴) ↔ (𝑏𝑐𝑐𝐴)))
4544anbi2d 739 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢 = 𝑏𝑣 = 𝑐) → ((𝜑 ∧ (𝑢𝑣𝑣𝐴)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑏𝑐𝑐𝐴))))
46 fveq2 6153 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 = 𝑏 → (𝐹𝑢) = (𝐹𝑏))
47 sseq12 3612 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹𝑢) = (𝐹𝑏) ∧ (𝐹𝑣) = (𝐹𝑐)) → ((𝐹𝑢) ⊆ (𝐹𝑣) ↔ (𝐹𝑏) ⊆ (𝐹𝑐)))
4846, 30, 47syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢 = 𝑏𝑣 = 𝑐) → ((𝐹𝑢) ⊆ (𝐹𝑣) ↔ (𝐹𝑏) ⊆ (𝐹𝑐)))
4945, 48imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢 = 𝑏𝑣 = 𝑐) → (((𝜑 ∧ (𝑢𝑣𝑣𝐴)) → (𝐹𝑢) ⊆ (𝐹𝑣)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑏𝑐𝑐𝐴)) → (𝐹𝑏) ⊆ (𝐹𝑐))))
5041, 23, 49, 34vtocl2 3250 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑏𝑐𝑐𝐴)) → (𝐹𝑏) ⊆ (𝐹𝑐))
5138, 39, 40, 50syl12anc 1321 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑏𝐵𝑐𝐵)) ∧ 𝑏𝑐) → (𝐹𝑏) ⊆ (𝐹𝑐))
5251ex 450 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑏𝐵𝑐𝐵)) → (𝑏𝑐 → (𝐹𝑏) ⊆ (𝐹𝑐)))
5337, 52anim12d 585 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑏𝐵𝑐𝐵)) → ((𝑎𝑐𝑏𝑐) → ((𝐹𝑎) ⊆ (𝐹𝑐) ∧ (𝐹𝑏) ⊆ (𝐹𝑐))))
54 unss 3770 . . . . . . . . 9 ((𝑎𝑐𝑏𝑐) ↔ (𝑎𝑏) ⊆ 𝑐)
55 unss 3770 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑎) ⊆ (𝐹𝑐) ∧ (𝐹𝑏) ⊆ (𝐹𝑐)) ↔ ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐))
5653, 54, 553imtr3g 284 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑏𝐵𝑐𝐵)) → ((𝑎𝑏) ⊆ 𝑐 → ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐)))
5756anassrs 679 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑐𝐵) → ((𝑎𝑏) ⊆ 𝑐 → ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐)))
5857reximdva 3012 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐵) → (∃𝑐𝐵 (𝑎𝑏) ⊆ 𝑐 → ∃𝑐𝐵 ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐)))
5958ralimdva 2957 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐵) → (∀𝑏𝐵𝑐𝐵 (𝑎𝑏) ⊆ 𝑐 → ∀𝑏𝐵𝑐𝐵 ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐)))
6059ralimdva 2957 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵 (𝑎𝑏) ⊆ 𝑐 → ∀𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵 ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐)))
6114, 60mpd 15 . . 3 (𝜑 → ∀𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵 ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐))
62 uneq1 3743 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐹𝑎) → (𝑥𝑦) = ((𝐹𝑎) ∪ 𝑦))
6362sseq1d 3616 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐹𝑎) → ((𝑥𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ ((𝐹𝑎) ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧))
6463rexbidv 3046 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐹𝑎) → (∃𝑧 ∈ (𝐹𝐵)(𝑥𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ (𝐹𝐵)((𝐹𝑎) ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧))
6564ralbidv 2981 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐹𝑎) → (∀𝑦 ∈ (𝐹𝐵)∃𝑧 ∈ (𝐹𝐵)(𝑥𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐹𝐵)∃𝑧 ∈ (𝐹𝐵)((𝐹𝑎) ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧))
6665ralima 6458 . . . . 5 ((𝐹 Fn 𝒫 𝐴𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴) → (∀𝑥 ∈ (𝐹𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐹𝐵)∃𝑧 ∈ (𝐹𝐵)(𝑥𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ ∀𝑎𝐵𝑦 ∈ (𝐹𝐵)∃𝑧 ∈ (𝐹𝐵)((𝐹𝑎) ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧))
678, 9, 66syl2anc 692 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (𝐹𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐹𝐵)∃𝑧 ∈ (𝐹𝐵)(𝑥𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ ∀𝑎𝐵𝑦 ∈ (𝐹𝐵)∃𝑧 ∈ (𝐹𝐵)((𝐹𝑎) ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧))
68 uneq2 3744 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝐹𝑏) → ((𝐹𝑎) ∪ 𝑦) = ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)))
6968sseq1d 3616 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝐹𝑏) → (((𝐹𝑎) ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ 𝑧))
7069rexbidv 3046 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝐹𝑏) → (∃𝑧 ∈ (𝐹𝐵)((𝐹𝑎) ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ (𝐹𝐵)((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ 𝑧))
7170ralima 6458 . . . . . . 7 ((𝐹 Fn 𝒫 𝐴𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴) → (∀𝑦 ∈ (𝐹𝐵)∃𝑧 ∈ (𝐹𝐵)((𝐹𝑎) ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ ∀𝑏𝐵𝑧 ∈ (𝐹𝐵)((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ 𝑧))
728, 9, 71syl2anc 692 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ (𝐹𝐵)∃𝑧 ∈ (𝐹𝐵)((𝐹𝑎) ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ ∀𝑏𝐵𝑧 ∈ (𝐹𝐵)((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ 𝑧))
73 sseq2 3611 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝐹𝑐) → (((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ 𝑧 ↔ ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐)))
7473rexima 6457 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn 𝒫 𝐴𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴) → (∃𝑧 ∈ (𝐹𝐵)((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ 𝑧 ↔ ∃𝑐𝐵 ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐)))
758, 9, 74syl2anc 692 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑧 ∈ (𝐹𝐵)((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ 𝑧 ↔ ∃𝑐𝐵 ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐)))
7675ralbidv 2981 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑏𝐵𝑧 ∈ (𝐹𝐵)((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ 𝑧 ↔ ∀𝑏𝐵𝑐𝐵 ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐)))
7772, 76bitrd 268 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ (𝐹𝐵)∃𝑧 ∈ (𝐹𝐵)((𝐹𝑎) ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ ∀𝑏𝐵𝑐𝐵 ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐)))
7877ralbidv 2981 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑎𝐵𝑦 ∈ (𝐹𝐵)∃𝑧 ∈ (𝐹𝐵)((𝐹𝑎) ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵 ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐)))
7967, 78bitrd 268 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (𝐹𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐹𝐵)∃𝑧 ∈ (𝐹𝐵)(𝑥𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵 ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐)))
8061, 79mpbird 247 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐹𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐹𝐵)∃𝑧 ∈ (𝐹𝐵)(𝑥𝑦) ⊆ 𝑧)
81 isipodrs 17089 . 2 ((toInc‘(𝐹𝐵)) ∈ Dirset ↔ ((𝐹𝐵) ∈ V ∧ (𝐹𝐵) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐹𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐹𝐵)∃𝑧 ∈ (𝐹𝐵)(𝑥𝑦) ⊆ 𝑧))
823, 13, 80, 81syl3anbrc 1244 1 (𝜑 → (toInc‘(𝐹𝐵)) ∈ Dirset)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ∀wral 2907  ∃wrex 2908  Vcvv 3189   ∪ cun 3557   ⊆ wss 3559  ∅c0 3896  𝒫 cpw 4135   “ cima 5082   Fn wfn 5847  ‘cfv 5852  Dirsetcdrs 16855  toInccipo 17079 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-fin 7910  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-nn 10972  df-2 11030  df-3 11031  df-4 11032  df-5 11033  df-6 11034  df-7 11035  df-8 11036  df-9 11037  df-n0 11244  df-z 11329  df-dec 11445  df-uz 11639  df-fz 12276  df-struct 15790  df-ndx 15791  df-slot 15792  df-base 15793  df-tset 15888  df-ple 15889  df-ocomp 15891  df-preset 16856  df-drs 16857  df-poset 16874  df-ipo 17080 This theorem is referenced by:  isacs4lem  17096  isnacs3  36780
 Copyright terms: Public domain W3C validator