Theorem ipolerval 17765

Description: Relation of the inclusion poset. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ipoval.i	⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ipolerval	⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)} = (le‘𝐼))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦

Proof of Theorem ipolerval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 485	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦) → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹)
2		vex 3497	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
3		vex 3497	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑦 ∈ V
4	2, 3	prss 4752	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ↔ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹)
5	1, 4	sylibr 236	. . . . . 6 ⊢ (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦) → (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹))
6	5	ssopab2i 5436	. . . . 5 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)} ⊆ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹)}
7		df-xp 5560	. . . . 5 ⊢ (𝐹 × 𝐹) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹)}
8	6, 7	sseqtrri 4003	. . . 4 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)} ⊆ (𝐹 × 𝐹)
9		sqxpexg 7476	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (𝐹 × 𝐹) ∈ V)
10		ssexg 5226	. . . 4 ⊢ (({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)} ⊆ (𝐹 × 𝐹) ∧ (𝐹 × 𝐹) ∈ V) → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)} ∈ V)
11	8, 9, 10	sylancr 589	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)} ∈ V)
12		ipostr 17762	. . . 4 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (ordTop‘{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)})⟩} ∪ {⟨(le‘ndx), {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)}⟩, ⟨(oc‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐹 ↦ ∪ {𝑦 ∈ 𝐹 ∣ (𝑦 ∩ 𝑥) = ∅})⟩}) Struct ⟨1, ;11⟩
13		pleid 16666	. . . 4 ⊢ le = Slot (le‘ndx)
14		snsspr1 4746	. . . . 5 ⊢ {⟨(le‘ndx), {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)}⟩} ⊆ {⟨(le‘ndx), {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)}⟩, ⟨(oc‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐹 ↦ ∪ {𝑦 ∈ 𝐹 ∣ (𝑦 ∩ 𝑥) = ∅})⟩}
15		ssun2 4148	. . . . 5 ⊢ {⟨(le‘ndx), {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)}⟩, ⟨(oc‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐹 ↦ ∪ {𝑦 ∈ 𝐹 ∣ (𝑦 ∩ 𝑥) = ∅})⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (ordTop‘{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)})⟩} ∪ {⟨(le‘ndx), {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)}⟩, ⟨(oc‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐹 ↦ ∪ {𝑦 ∈ 𝐹 ∣ (𝑦 ∩ 𝑥) = ∅})⟩})
16	14, 15	sstri 3975	. . . 4 ⊢ {⟨(le‘ndx), {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)}⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (ordTop‘{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)})⟩} ∪ {⟨(le‘ndx), {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)}⟩, ⟨(oc‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐹 ↦ ∪ {𝑦 ∈ 𝐹 ∣ (𝑦 ∩ 𝑥) = ∅})⟩})
17	12, 13, 16	strfv 16530	. . 3 ⊢ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)} ∈ V → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)} = (le‘({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (ordTop‘{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)})⟩} ∪ {⟨(le‘ndx), {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)}⟩, ⟨(oc‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐹 ↦ ∪ {𝑦 ∈ 𝐹 ∣ (𝑦 ∩ 𝑥) = ∅})⟩})))
18	11, 17	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)} = (le‘({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (ordTop‘{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)})⟩} ∪ {⟨(le‘ndx), {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)}⟩, ⟨(oc‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐹 ↦ ∪ {𝑦 ∈ 𝐹 ∣ (𝑦 ∩ 𝑥) = ∅})⟩})))
19		ipoval.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)
20		eqid 2821	. . . 4 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)}
21	19, 20	ipoval 17763	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → 𝐼 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (ordTop‘{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)})⟩} ∪ {⟨(le‘ndx), {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)}⟩, ⟨(oc‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐹 ↦ ∪ {𝑦 ∈ 𝐹 ∣ (𝑦 ∩ 𝑥) = ∅})⟩}))
22	21	fveq2d 6673	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (le‘𝐼) = (le‘({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (ordTop‘{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)})⟩} ∪ {⟨(le‘ndx), {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)}⟩, ⟨(oc‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐹 ↦ ∪ {𝑦 ∈ 𝐹 ∣ (𝑦 ∩ 𝑥) = ∅})⟩})))
23	18, 22	eqtr4d 2859	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)} = (le‘𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  {crab 3142  Vcvv 3494   ∪ cun 3933   ∩ cin 3934   ⊆ wss 3935  ∅c0 4290  {csn 4566  {cpr 4568  ⟨cop 4572  ∪ cuni 4837  {copab 5127   ↦ cmpt 5145   × cxp 5552  ‘cfv 6354  1c1 10537  ;cdc 12097  ndxcnx 16479  Basecbs 16482  TopSetcts 16570  lecple 16571  occoc 16572  ordTopcordt 16771  toInccipo 17760

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-oadd 8105  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-z 11981  df-dec 12098  df-uz 12243  df-fz 12892  df-struct 16484  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-tset 16583  df-ple 16584  df-ocomp 16585  df-ipo 17761

This theorem is referenced by:  ipotset  17766  ipole  17767  thlle  20840