Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iprodclim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iprodclim 14437
 Description: An infinite product equals the value its sequence converges to. (Contributed by Scott Fenton, 18-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
iprodclim.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
iprodclim.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
iprodclim.3 (𝜑 → ∃𝑛𝑍𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
iprodclim.4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
iprodclim.5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
iprodclim.6 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝐵)
Assertion
Ref Expression
iprodclim (𝜑 → ∏𝑘𝑍 𝐴 = 𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑦   𝑘,𝐹   𝑘,𝑛,𝜑,𝑦   𝑘,𝑀,𝑦   𝜑,𝑛,𝑦   𝑘,𝑍,𝑛,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑦,𝑘,𝑛)   𝐹(𝑦,𝑛)   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem iprodclim
StepHypRef Expression
1 iprodclim.1 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 iprodclim.2 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 iprodclim.3 . . 3 (𝜑 → ∃𝑛𝑍𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
4 iprodclim.4 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
5 iprodclim.5 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
61, 2, 3, 4, 5iprod 14376 . 2 (𝜑 → ∏𝑘𝑍 𝐴 = ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)))
7 fclim 13998 . . . 4 ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ
8 ffun 5846 . . . 4 ( ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ → Fun ⇝ )
97, 8ax-mp 5 . . 3 Fun ⇝
10 iprodclim.6 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝐵)
11 funbrfv 6028 . . 3 (Fun ⇝ → (seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝐵 → ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)) = 𝐵))
129, 10, 11mpsyl 65 . 2 (𝜑 → ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)) = 𝐵)
136, 12eqtrd 2548 1 (𝜑 → ∏𝑘𝑍 𝐴 = 𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1474  ∃wex 1694   ∈ wcel 1938   ≠ wne 2684  ∃wrex 2801   class class class wbr 4481  dom cdm 4932  Fun wfun 5683  ⟶wf 5685  ‘cfv 5689  ℂcc 9689  0cc0 9691   · cmul 9696  ℤcz 11118  ℤ≥cuz 11427  seqcseq 12531   ⇝ cli 13929  ∏cprod 14343 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-rep 4597  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6723  ax-inf2 8297  ax-cnex 9747  ax-resscn 9748  ax-1cn 9749  ax-icn 9750  ax-addcl 9751  ax-addrcl 9752  ax-mulcl 9753  ax-mulrcl 9754  ax-mulcom 9755  ax-addass 9756  ax-mulass 9757  ax-distr 9758  ax-i2m1 9759  ax-1ne0 9760  ax-1rid 9761  ax-rnegex 9762  ax-rrecex 9763  ax-cnre 9764  ax-pre-lttri 9765  ax-pre-lttrn 9766  ax-pre-ltadd 9767  ax-pre-mulgt0 9768  ax-pre-sup 9769 This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-int 4309  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-se 4892  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-isom 5698  df-riota 6388  df-ov 6429  df-oprab 6430  df-mpt2 6431  df-om 6834  df-1st 6934  df-2nd 6935  df-wrecs 7169  df-recs 7231  df-rdg 7269  df-1o 7323  df-oadd 7327  df-er 7505  df-en 7718  df-dom 7719  df-sdom 7720  df-fin 7721  df-sup 8107  df-oi 8174  df-card 8524  df-pnf 9831  df-mnf 9832  df-xr 9833  df-ltxr 9834  df-le 9835  df-sub 10019  df-neg 10020  df-div 10434  df-nn 10776  df-2 10834  df-3 10835  df-n0 11048  df-z 11119  df-uz 11428  df-rp 11575  df-fz 12066  df-fzo 12203  df-seq 12532  df-exp 12591  df-hash 12848  df-cj 13546  df-re 13547  df-im 13548  df-sqrt 13682  df-abs 13683  df-clim 13933  df-prod 14344 This theorem is referenced by:  iprodmul  14442
 Copyright terms: Public domain W3C validator