Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iprodefisum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iprodefisum 30674
Description: Applying the exponential function to an infinite sum yields an infinite product. (Contributed by Scott Fenton, 11-Feb-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
iprodefisum.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
iprodefisum.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
iprodefisum.3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐵)
iprodefisum.4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
iprodefisum.5 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
Assertion
Ref Expression
iprodefisum (𝜑 → ∏𝑘𝑍 (exp‘𝐵) = (exp‘Σ𝑘𝑍 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem iprodefisum
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iprodefisum.1 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 iprodefisum.2 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 iprodefisum.3 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐵)
4 iprodefisum.4 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
5 iprodefisum.5 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
61, 2, 3, 4, 5isumcl 14283 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘𝑍 𝐵 ∈ ℂ)
7 efne0 14615 . . 3 𝑘𝑍 𝐵 ∈ ℂ → (exp‘Σ𝑘𝑍 𝐵) ≠ 0)
86, 7syl 17 . 2 (𝜑 → (exp‘Σ𝑘𝑍 𝐵) ≠ 0)
9 efcn 23946 . . . . 5 exp ∈ (ℂ–cn→ℂ)
109a1i 11 . . . 4 (𝜑 → exp ∈ (ℂ–cn→ℂ))
11 fveq2 6088 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑘 → (𝐹𝑗) = (𝐹𝑘))
12 eqid 2610 . . . . . . . 8 (𝑗𝑍 ↦ (𝐹𝑗)) = (𝑗𝑍 ↦ (𝐹𝑗))
13 fvex 6098 . . . . . . . 8 (𝐹𝑘) ∈ V
1411, 12, 13fvmpt 6176 . . . . . . 7 (𝑘𝑍 → ((𝑗𝑍 ↦ (𝐹𝑗))‘𝑘) = (𝐹𝑘))
1514adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑗𝑍 ↦ (𝐹𝑗))‘𝑘) = (𝐹𝑘))
163, 4eqeltrd 2688 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1715, 16eqeltrd 2688 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑗𝑍 ↦ (𝐹𝑗))‘𝑘) ∈ ℂ)
181, 2, 17serf 12649 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑗𝑍 ↦ (𝐹𝑗))):𝑍⟶ℂ)
191eqcomi 2619 . . . . . . . 8 (ℤ𝑀) = 𝑍
2014, 19eleq2s 2706 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑗𝑍 ↦ (𝐹𝑗))‘𝑘) = (𝐹𝑘))
2120adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑗𝑍 ↦ (𝐹𝑗))‘𝑘) = (𝐹𝑘))
222, 21seqfeq 12646 . . . . 5 (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑗𝑍 ↦ (𝐹𝑗))) = seq𝑀( + , 𝐹))
23 climdm 14082 . . . . . 6 (seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)))
245, 23sylib 207 . . . . 5 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)))
2522, 24eqbrtrd 4600 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑗𝑍 ↦ (𝐹𝑗))) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)))
26 climcl 14027 . . . . 5 (seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)) → ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)) ∈ ℂ)
2724, 26syl 17 . . . 4 (𝜑 → ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)) ∈ ℂ)
281, 2, 10, 18, 25, 27climcncf 22459 . . 3 (𝜑 → (exp ∘ seq𝑀( + , (𝑗𝑍 ↦ (𝐹𝑗)))) ⇝ (exp‘( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹))))
2911cbvmptv 4673 . . . . 5 (𝑗𝑍 ↦ (𝐹𝑗)) = (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))
3016, 29fmptd 6277 . . . 4 (𝜑 → (𝑗𝑍 ↦ (𝐹𝑗)):𝑍⟶ℂ)
311, 2, 30iprodefisumlem 30673 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( · , (exp ∘ (𝑗𝑍 ↦ (𝐹𝑗)))) = (exp ∘ seq𝑀( + , (𝑗𝑍 ↦ (𝐹𝑗)))))
321, 2, 3, 4isum 14246 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘𝑍 𝐵 = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)))
3332fveq2d 6092 . . 3 (𝜑 → (exp‘Σ𝑘𝑍 𝐵) = (exp‘( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹))))
3428, 31, 333brtr4d 4610 . 2 (𝜑 → seq𝑀( · , (exp ∘ (𝑗𝑍 ↦ (𝐹𝑗)))) ⇝ (exp‘Σ𝑘𝑍 𝐵))
35 fvco3 6170 . . . 4 (((𝑗𝑍 ↦ (𝐹𝑗)):𝑍⟶ℂ ∧ 𝑘𝑍) → ((exp ∘ (𝑗𝑍 ↦ (𝐹𝑗)))‘𝑘) = (exp‘((𝑗𝑍 ↦ (𝐹𝑗))‘𝑘)))
3630, 35sylan 487 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((exp ∘ (𝑗𝑍 ↦ (𝐹𝑗)))‘𝑘) = (exp‘((𝑗𝑍 ↦ (𝐹𝑗))‘𝑘)))
3715fveq2d 6092 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (exp‘((𝑗𝑍 ↦ (𝐹𝑗))‘𝑘)) = (exp‘(𝐹𝑘)))
383fveq2d 6092 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (exp‘(𝐹𝑘)) = (exp‘𝐵))
3936, 37, 383eqtrd 2648 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → ((exp ∘ (𝑗𝑍 ↦ (𝐹𝑗)))‘𝑘) = (exp‘𝐵))
40 efcl 14601 . . 3 (𝐵 ∈ ℂ → (exp‘𝐵) ∈ ℂ)
414, 40syl 17 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → (exp‘𝐵) ∈ ℂ)
421, 2, 8, 34, 39, 41iprodn0 14458 1 (𝜑 → ∏𝑘𝑍 (exp‘𝐵) = (exp‘Σ𝑘𝑍 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780   class class class wbr 4578  cmpt 4638  dom cdm 5028  ccom 5032  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  cc 9791  0cc0 9793   + caddc 9796   · cmul 9798  cz 11213  cuz 11522  seqcseq 12621  cli 14012  Σcsu 14213  cprod 14423  expce 14580  cnccncf 22435
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4694  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-inf2 8399  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-pre-sup 9871  ax-addf 9872  ax-mulf 9873
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4368  df-int 4406  df-iun 4452  df-iin 4453  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-tr 4676  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6773  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-supp 7161  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-2o 7426  df-oadd 7429  df-er 7607  df-map 7724  df-pm 7725  df-ixp 7773  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-fsupp 8137  df-fi 8178  df-sup 8209  df-inf 8210  df-oi 8276  df-card 8626  df-cda 8851  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-4 10931  df-5 10932  df-6 10933  df-7 10934  df-8 10935  df-9 10936  df-n0 11143  df-z 11214  df-dec 11329  df-uz 11523  df-q 11624  df-rp 11668  df-xneg 11781  df-xadd 11782  df-xmul 11783  df-ico 12011  df-icc 12012  df-fz 12156  df-fzo 12293  df-fl 12413  df-seq 12622  df-exp 12681  df-fac 12881  df-bc 12910  df-hash 12938  df-shft 13604  df-cj 13636  df-re 13637  df-im 13638  df-sqrt 13772  df-abs 13773  df-limsup 13999  df-clim 14016  df-rlim 14017  df-sum 14214  df-prod 14424  df-ef 14586  df-struct 15646  df-ndx 15647  df-slot 15648  df-base 15649  df-sets 15650  df-ress 15651  df-plusg 15730  df-mulr 15731  df-starv 15732  df-sca 15733  df-vsca 15734  df-ip 15735  df-tset 15736  df-ple 15737  df-ds 15740  df-unif 15741  df-hom 15742  df-cco 15743  df-rest 15855  df-topn 15856  df-0g 15874  df-gsum 15875  df-topgen 15876  df-pt 15877  df-prds 15880  df-xrs 15934  df-qtop 15939  df-imas 15940  df-xps 15942  df-mre 16018  df-mrc 16019  df-acs 16021  df-mgm 17014  df-sgrp 17056  df-mnd 17067  df-submnd 17108  df-mulg 17313  df-cntz 17522  df-cmn 17967  df-psmet 19508  df-xmet 19509  df-met 19510  df-bl 19511  df-mopn 19512  df-fbas 19513  df-fg 19514  df-cnfld 19517  df-top 20469  df-bases 20470  df-topon 20471  df-topsp 20472  df-cld 20581  df-ntr 20582  df-cls 20583  df-nei 20660  df-lp 20698  df-perf 20699  df-cn 20789  df-cnp 20790  df-haus 20877  df-tx 21123  df-hmeo 21316  df-fil 21408  df-fm 21500  df-flim 21501  df-flf 21502  df-xms 21883  df-ms 21884  df-tms 21885  df-cncf 22437  df-limc 23381  df-dv 23382
This theorem is referenced by:  iprodgam  30675
  Copyright terms: Public domain W3C validator