MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iprodmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iprodmul 15345
Description: Multiplication of infinite sums. (Contributed by Scott Fenton, 18-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
iprodmul.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
iprodmul.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
iprodmul.3 (𝜑 → ∃𝑛𝑍𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
iprodmul.4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
iprodmul.5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
iprodmul.6 (𝜑 → ∃𝑚𝑍𝑧(𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))
iprodmul.7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = 𝐵)
iprodmul.8 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
iprodmul (𝜑 → ∏𝑘𝑍 (𝐴 · 𝐵) = (∏𝑘𝑍 𝐴 · ∏𝑘𝑍 𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑦   𝐵,𝑚,𝑧   𝑘,𝐹,𝑚,𝑛,𝑦,𝑧   𝑘,𝐺,𝑚,𝑛,𝑦,𝑧   𝜑,𝑘,𝑦,𝑧   𝑘,𝑀,𝑚,𝑛   𝜑,𝑚,𝑦   𝑦,𝑀   𝑧,𝑚,𝑀   𝜑,𝑛,𝑦,𝑧   𝑘,𝑍,𝑚,𝑛,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧,𝑘,𝑚)   𝐵(𝑦,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem iprodmul
Dummy variables 𝑗 𝑎 𝑝 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iprodmul.1 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 iprodmul.2 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 iprodmul.3 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑛𝑍𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
4 iprodmul.4 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
5 iprodmul.5 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
64, 5eqeltrd 2910 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
7 iprodmul.6 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑚𝑍𝑧(𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))
8 iprodmul.7 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = 𝐵)
9 iprodmul.8 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
108, 9eqeltrd 2910 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
11 fveq2 6663 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑘 → (𝐹𝑎) = (𝐹𝑘))
12 fveq2 6663 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑘 → (𝐺𝑎) = (𝐺𝑘))
1311, 12oveq12d 7163 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑘 → ((𝐹𝑎) · (𝐺𝑎)) = ((𝐹𝑘) · (𝐺𝑘)))
14 eqid 2818 . . . . . 6 (𝑎𝑍 ↦ ((𝐹𝑎) · (𝐺𝑎))) = (𝑎𝑍 ↦ ((𝐹𝑎) · (𝐺𝑎)))
15 ovex 7178 . . . . . 6 ((𝐹𝑘) · (𝐺𝑘)) ∈ V
1613, 14, 15fvmpt 6761 . . . . 5 (𝑘𝑍 → ((𝑎𝑍 ↦ ((𝐹𝑎) · (𝐺𝑎)))‘𝑘) = ((𝐹𝑘) · (𝐺𝑘)))
1716adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑎𝑍 ↦ ((𝐹𝑎) · (𝐺𝑎)))‘𝑘) = ((𝐹𝑘) · (𝐺𝑘)))
181, 3, 6, 7, 10, 17ntrivcvgmul 15246 . . 3 (𝜑 → ∃𝑝𝑍𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , (𝑎𝑍 ↦ ((𝐹𝑎) · (𝐺𝑎)))) ⇝ 𝑤))
19 fveq2 6663 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑎 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑎))
20 fveq2 6663 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑎 → (𝐺𝑚) = (𝐺𝑎))
2119, 20oveq12d 7163 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑎 → ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚)) = ((𝐹𝑎) · (𝐺𝑎)))
2221cbvmptv 5160 . . . . . . . 8 (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚))) = (𝑎𝑍 ↦ ((𝐹𝑎) · (𝐺𝑎)))
23 seqeq3 13362 . . . . . . . 8 ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚))) = (𝑎𝑍 ↦ ((𝐹𝑎) · (𝐺𝑎))) → seq𝑝( · , (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚)))) = seq𝑝( · , (𝑎𝑍 ↦ ((𝐹𝑎) · (𝐺𝑎)))))
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . 7 seq𝑝( · , (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚)))) = seq𝑝( · , (𝑎𝑍 ↦ ((𝐹𝑎) · (𝐺𝑎))))
2524breq1i 5064 . . . . . 6 (seq𝑝( · , (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚)))) ⇝ 𝑤 ↔ seq𝑝( · , (𝑎𝑍 ↦ ((𝐹𝑎) · (𝐺𝑎)))) ⇝ 𝑤)
2625anbi2i 622 . . . . 5 ((𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚)))) ⇝ 𝑤) ↔ (𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , (𝑎𝑍 ↦ ((𝐹𝑎) · (𝐺𝑎)))) ⇝ 𝑤))
2726exbii 1839 . . . 4 (∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚)))) ⇝ 𝑤) ↔ ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , (𝑎𝑍 ↦ ((𝐹𝑎) · (𝐺𝑎)))) ⇝ 𝑤))
2827rexbii 3244 . . 3 (∃𝑝𝑍𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚)))) ⇝ 𝑤) ↔ ∃𝑝𝑍𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , (𝑎𝑍 ↦ ((𝐹𝑎) · (𝐺𝑎)))) ⇝ 𝑤))
2918, 28sylibr 235 . 2 (𝜑 → ∃𝑝𝑍𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚)))) ⇝ 𝑤))
30 eqid 2818 . . . 4 (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚))) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚)))
31 fveq2 6663 . . . . 5 (𝑚 = 𝑘 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑘))
32 fveq2 6663 . . . . 5 (𝑚 = 𝑘 → (𝐺𝑚) = (𝐺𝑘))
3331, 32oveq12d 7163 . . . 4 (𝑚 = 𝑘 → ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚)) = ((𝐹𝑘) · (𝐺𝑘)))
34 simpr 485 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘𝑍)
356, 10mulcld 10649 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘) · (𝐺𝑘)) ∈ ℂ)
3630, 33, 34, 35fvmptd3 6783 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚)))‘𝑘) = ((𝐹𝑘) · (𝐺𝑘)))
374, 8oveq12d 7163 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘) · (𝐺𝑘)) = (𝐴 · 𝐵))
3836, 37eqtrd 2853 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚)))‘𝑘) = (𝐴 · 𝐵))
395, 9mulcld 10649 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
401, 2, 3, 4, 5iprodclim2 15341 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ ∏𝑘𝑍 𝐴)
41 seqex 13359 . . . 4 seq𝑀( · , (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚)))) ∈ V
4241a1i 11 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( · , (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚)))) ∈ V)
431, 2, 7, 8, 9iprodclim2 15341 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐺) ⇝ ∏𝑘𝑍 𝐵)
441, 2, 6prodf 15231 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹):𝑍⟶ℂ)
4544ffvelrnda 6843 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
461, 2, 10prodf 15231 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐺):𝑍⟶ℂ)
4746ffvelrnda 6843 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑗) ∈ ℂ)
48 simpr 485 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗𝑍)
4948, 1eleqtrdi 2920 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
50 elfzuz 12892 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
5150, 1eleqtrrdi 2921 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑘𝑍)
5251, 6sylan2 592 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
5352adantlr 711 . . . 4 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
5451, 10sylan2 592 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
5554adantlr 711 . . . 4 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
5636adantlr 711 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚)))‘𝑘) = ((𝐹𝑘) · (𝐺𝑘)))
5751, 56sylan2 592 . . . 4 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚)))‘𝑘) = ((𝐹𝑘) · (𝐺𝑘)))
5849, 53, 55, 57prodfmul 15234 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( · , (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚))))‘𝑗) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗) · (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑗)))
591, 2, 40, 42, 43, 45, 47, 58climmul 14977 . 2 (𝜑 → seq𝑀( · , (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚)))) ⇝ (∏𝑘𝑍 𝐴 · ∏𝑘𝑍 𝐵))
601, 2, 29, 38, 39, 59iprodclim 15340 1 (𝜑 → ∏𝑘𝑍 (𝐴 · 𝐵) = (∏𝑘𝑍 𝐴 · ∏𝑘𝑍 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wex 1771  wcel 2105  wne 3013  wrex 3136  Vcvv 3492   class class class wbr 5057  cmpt 5137  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  0cc0 10525   · cmul 10530  cz 11969  cuz 12231  ...cfz 12880  seqcseq 13357  cli 14829  cprod 15247
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-prod 15248
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator