Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iprodrecl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iprodrecl 14653
 Description: The product of a non-trivially converging infinite real sequence is a real number. (Contributed by Scott Fenton, 18-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
iprodcl.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
iprodcl.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
iprodcl.3 (𝜑 → ∃𝑛𝑍𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
iprodcl.4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
iprodrecl.5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
iprodrecl (𝜑 → ∏𝑘𝑍 𝐴 ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑦   𝑘,𝐹,𝑛   𝜑,𝑘,𝑦   𝑘,𝑀,𝑦   𝜑,𝑛,𝑦   𝑘,𝑍,𝑛,𝑦   𝑛,𝐹,𝑦   𝑛,𝑀
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem iprodrecl
Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iprodcl.1 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 iprodcl.2 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 iprodcl.3 . . 3 (𝜑 → ∃𝑛𝑍𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
4 iprodcl.4 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
5 iprodrecl.5 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℝ)
65recnd 10013 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
71, 2, 3, 4, 6iprodclim2 14650 . 2 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ ∏𝑘𝑍 𝐴)
84, 5eqeltrd 2704 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
9 remulcl 9966 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℝ)
109adantl 482 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℝ)
111, 2, 8, 10seqf 12759 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹):𝑍⟶ℝ)
1211ffvelrnda 6316 . 2 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℝ)
131, 2, 7, 12climrecl 14243 1 (𝜑 → ∏𝑘𝑍 𝐴 ∈ ℝ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480  ∃wex 1701   ∈ wcel 1992   ≠ wne 2796  ∃wrex 2913   class class class wbr 4618  ‘cfv 5850  (class class class)co 6605  ℝcr 9880  0cc0 9881   · cmul 9886  ℤcz 11322  ℤ≥cuz 11631  seqcseq 12738   ⇝ cli 14144  ∏cprod 14555 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-pm 7806  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-sup 8293  df-inf 8294  df-oi 8360  df-card 8710  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-fl 12530  df-seq 12739  df-exp 12798  df-hash 13055  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-clim 14148  df-rlim 14149  df-prod 14556 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator