MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipsubdir Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipsubdir 19909
Description: Distributive law for inner product subtraction. (Contributed by NM, 20-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlsrng.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
phllmhm.h , = (·𝑖𝑊)
phllmhm.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
ipsubdir.m = (-g𝑊)
ipsubdir.s 𝑆 = (-g𝐹)
Assertion
Ref Expression
ipsubdir ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((𝐴 𝐵) , 𝐶) = ((𝐴 , 𝐶)𝑆(𝐵 , 𝐶)))

Proof of Theorem ipsubdir
StepHypRef Expression
1 simpl 473 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝑊 ∈ PreHil)
2 phllmod 19897 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
32adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
4 lmodgrp 18794 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
53, 4syl 17 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝑊 ∈ Grp)
6 simpr1 1065 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝐴𝑉)
7 simpr2 1066 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝐵𝑉)
8 phllmhm.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑊)
9 ipsubdir.m . . . . . . 7 = (-g𝑊)
108, 9grpsubcl 17419 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 𝐵) ∈ 𝑉)
115, 6, 7, 10syl3anc 1323 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝐴 𝐵) ∈ 𝑉)
12 simpr3 1067 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝐶𝑉)
13 phlsrng.f . . . . . 6 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
14 phllmhm.h . . . . . 6 , = (·𝑖𝑊)
15 eqid 2621 . . . . . 6 (+g𝑊) = (+g𝑊)
16 eqid 2621 . . . . . 6 (+g𝐹) = (+g𝐹)
1713, 14, 8, 15, 16ipdir 19906 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ ((𝐴 𝐵) ∈ 𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (((𝐴 𝐵)(+g𝑊)𝐵) , 𝐶) = (((𝐴 𝐵) , 𝐶)(+g𝐹)(𝐵 , 𝐶)))
181, 11, 7, 12, 17syl13anc 1325 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (((𝐴 𝐵)(+g𝑊)𝐵) , 𝐶) = (((𝐴 𝐵) , 𝐶)(+g𝐹)(𝐵 , 𝐶)))
198, 15, 9grpnpcan 17431 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((𝐴 𝐵)(+g𝑊)𝐵) = 𝐴)
205, 6, 7, 19syl3anc 1323 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((𝐴 𝐵)(+g𝑊)𝐵) = 𝐴)
2120oveq1d 6622 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (((𝐴 𝐵)(+g𝑊)𝐵) , 𝐶) = (𝐴 , 𝐶))
2218, 21eqtr3d 2657 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (((𝐴 𝐵) , 𝐶)(+g𝐹)(𝐵 , 𝐶)) = (𝐴 , 𝐶))
2313lmodfgrp 18796 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Grp)
243, 23syl 17 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝐹 ∈ Grp)
25 eqid 2621 . . . . . 6 (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
2613, 14, 8, 25ipcl 19900 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐶𝑉) → (𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
271, 6, 12, 26syl3anc 1323 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
2813, 14, 8, 25ipcl 19900 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵𝑉𝐶𝑉) → (𝐵 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
291, 7, 12, 28syl3anc 1323 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝐵 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
3013, 14, 8, 25ipcl 19900 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 𝐵) ∈ 𝑉𝐶𝑉) → ((𝐴 𝐵) , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
311, 11, 12, 30syl3anc 1323 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((𝐴 𝐵) , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
32 ipsubdir.s . . . . 5 𝑆 = (-g𝐹)
3325, 16, 32grpsubadd 17427 . . . 4 ((𝐹 ∈ Grp ∧ ((𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝐵 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹) ∧ ((𝐴 𝐵) , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))) → (((𝐴 , 𝐶)𝑆(𝐵 , 𝐶)) = ((𝐴 𝐵) , 𝐶) ↔ (((𝐴 𝐵) , 𝐶)(+g𝐹)(𝐵 , 𝐶)) = (𝐴 , 𝐶)))
3424, 27, 29, 31, 33syl13anc 1325 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (((𝐴 , 𝐶)𝑆(𝐵 , 𝐶)) = ((𝐴 𝐵) , 𝐶) ↔ (((𝐴 𝐵) , 𝐶)(+g𝐹)(𝐵 , 𝐶)) = (𝐴 , 𝐶)))
3522, 34mpbird 247 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((𝐴 , 𝐶)𝑆(𝐵 , 𝐶)) = ((𝐴 𝐵) , 𝐶))
3635eqcomd 2627 1 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((𝐴 𝐵) , 𝐶) = ((𝐴 , 𝐶)𝑆(𝐵 , 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  cfv 5849  (class class class)co 6607  Basecbs 15784  +gcplusg 15865  Scalarcsca 15868  ·𝑖cip 15870  Grpcgrp 17346  -gcsg 17348  LModclmod 18787  PreHilcphl 19891
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-er 7690  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-nn 10968  df-2 11026  df-3 11027  df-4 11028  df-5 11029  df-6 11030  df-7 11031  df-8 11032  df-ndx 15787  df-slot 15788  df-base 15789  df-sets 15790  df-plusg 15878  df-sca 15881  df-vsca 15882  df-ip 15883  df-0g 16026  df-mgm 17166  df-sgrp 17208  df-mnd 17219  df-grp 17349  df-minusg 17350  df-sbg 17351  df-ghm 17582  df-ring 18473  df-lmod 18789  df-lmhm 18944  df-lvec 19025  df-sra 19094  df-rgmod 19095  df-phl 19893
This theorem is referenced by:  ip2subdi  19911  cphsubdir  22921
  Copyright terms: Public domain W3C validator