Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipz 27883
 Description: The inner product of a vector with itself is zero iff the vector is zero. Part of Definition 3.1-1 of [Kreyszig] p. 129. (Contributed by NM, 24-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dip0r.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
dip0r.5 𝑍 = (0vec𝑈)
dip0r.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
Assertion
Ref Expression
ipz ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((𝐴𝑃𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 𝑍))

Proof of Theorem ipz
StepHypRef Expression
1 dip0r.1 . . . 4 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2 eqid 2760 . . . 4 (normCV𝑈) = (normCV𝑈)
3 dip0r.7 . . . 4 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
41, 2, 3ipidsq 27874 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝑃𝐴) = (((normCV𝑈)‘𝐴)↑2))
54eqeq1d 2762 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((𝐴𝑃𝐴) = 0 ↔ (((normCV𝑈)‘𝐴)↑2) = 0))
61, 2nvcl 27825 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((normCV𝑈)‘𝐴) ∈ ℝ)
76recnd 10260 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((normCV𝑈)‘𝐴) ∈ ℂ)
8 sqeq0 13121 . . 3 (((normCV𝑈)‘𝐴) ∈ ℂ → ((((normCV𝑈)‘𝐴)↑2) = 0 ↔ ((normCV𝑈)‘𝐴) = 0))
97, 8syl 17 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((((normCV𝑈)‘𝐴)↑2) = 0 ↔ ((normCV𝑈)‘𝐴) = 0))
10 dip0r.5 . . 3 𝑍 = (0vec𝑈)
111, 10, 2nvz 27833 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (((normCV𝑈)‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 𝑍))
125, 9, 113bitrd 294 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((𝐴𝑃𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 𝑍))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  ℂcc 10126  0cc0 10128  2c2 11262  ↑cexp 13054  NrmCVeccnv 27748  BaseSetcba 27750  0veccn0v 27752  normCVcnmcv 27754  ·𝑖OLDcdip 27864 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-oi 8580  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-seq 12996  df-exp 13055  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-clim 14418  df-sum 14616  df-grpo 27656  df-gid 27657  df-ginv 27658  df-ablo 27708  df-vc 27723  df-nv 27756  df-va 27759  df-ba 27760  df-sm 27761  df-0v 27762  df-nmcv 27764  df-dip 27865 This theorem is referenced by:  ip2eqi  28021
 Copyright terms: Public domain W3C validator