Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  irinitoringc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem irinitoringc 44238
Description: The ring of integers is an initial object in the category of unital rings (within a universe containing the ring of integers). Example 7.2 (6) of [Adamek] p. 101 , and example in [Lang] p. 58. (Contributed by AV, 3-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
irinitoringc.u (𝜑𝑈𝑉)
irinitoringc.z (𝜑 → ℤring𝑈)
irinitoringc.c 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
irinitoringc (𝜑 → ℤring ∈ (InitO‘𝐶))

Proof of Theorem irinitoringc
Dummy variables 𝑓 𝑟 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zex 11979 . . . . . 6 ℤ ∈ V
21mptex 6978 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧(.g𝑟)(1r𝑟))) ∈ V
3 irinitoringc.c . . . . . . . . 9 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
4 eqid 2821 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
5 irinitoringc.u . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈𝑉)
6 eqid 2821 . . . . . . . . 9 (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
73, 4, 5, 6ringchomfval 44181 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Hom ‘𝐶) = ( RingHom ↾ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))))
87adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) → (Hom ‘𝐶) = ( RingHom ↾ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))))
98oveqd 7162 . . . . . 6 ((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) → (ℤring(Hom ‘𝐶)𝑟) = (ℤring( RingHom ↾ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)))𝑟))
10 irinitoringc.z . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℤring𝑈)
11 id 22 . . . . . . . . . . 11 (ℤring𝑈 → ℤring𝑈)
12 zringring 20550 . . . . . . . . . . . 12 ring ∈ Ring
1312a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (ℤring𝑈 → ℤring ∈ Ring)
1411, 13elind 4170 . . . . . . . . . 10 (ℤring𝑈 → ℤring ∈ (𝑈 ∩ Ring))
1510, 14syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℤring ∈ (𝑈 ∩ Ring))
163, 4, 5ringcbas 44180 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (Base‘𝐶) = (𝑈 ∩ Ring))
1715, 16eleqtrrd 2916 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℤring ∈ (Base‘𝐶))
1817adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) → ℤring ∈ (Base‘𝐶))
19 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) → 𝑟 ∈ (Base‘𝐶))
2018, 19ovresd 7304 . . . . . 6 ((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) → (ℤring( RingHom ↾ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)))𝑟) = (ℤring RingHom 𝑟))
2116eleq2d 2898 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑟 ∈ (Base‘𝐶) ↔ 𝑟 ∈ (𝑈 ∩ Ring)))
22 elin 4168 . . . . . . . . . 10 (𝑟 ∈ (𝑈 ∩ Ring) ↔ (𝑟𝑈𝑟 ∈ Ring))
2322simprbi 497 . . . . . . . . 9 (𝑟 ∈ (𝑈 ∩ Ring) → 𝑟 ∈ Ring)
2421, 23syl6bi 254 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑟 ∈ (Base‘𝐶) → 𝑟 ∈ Ring))
2524imp 407 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) → 𝑟 ∈ Ring)
26 eqid 2821 . . . . . . . 8 (.g𝑟) = (.g𝑟)
27 eqid 2821 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧(.g𝑟)(1r𝑟))) = (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧(.g𝑟)(1r𝑟)))
28 eqid 2821 . . . . . . . 8 (1r𝑟) = (1r𝑟)
2926, 27, 28mulgrhm2 20576 . . . . . . 7 (𝑟 ∈ Ring → (ℤring RingHom 𝑟) = {(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧(.g𝑟)(1r𝑟)))})
3025, 29syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) → (ℤring RingHom 𝑟) = {(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧(.g𝑟)(1r𝑟)))})
319, 20, 303eqtrd 2860 . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) → (ℤring(Hom ‘𝐶)𝑟) = {(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧(.g𝑟)(1r𝑟)))})
32 sneq 4569 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧(.g𝑟)(1r𝑟))) → {𝑓} = {(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧(.g𝑟)(1r𝑟)))})
3332eqeq2d 2832 . . . . . 6 (𝑓 = (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧(.g𝑟)(1r𝑟))) → ((ℤring(Hom ‘𝐶)𝑟) = {𝑓} ↔ (ℤring(Hom ‘𝐶)𝑟) = {(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧(.g𝑟)(1r𝑟)))}))
3433spcegv 3597 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧(.g𝑟)(1r𝑟))) ∈ V → ((ℤring(Hom ‘𝐶)𝑟) = {(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧(.g𝑟)(1r𝑟)))} → ∃𝑓(ℤring(Hom ‘𝐶)𝑟) = {𝑓}))
352, 31, 34mpsyl 68 . . . 4 ((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) → ∃𝑓(ℤring(Hom ‘𝐶)𝑟) = {𝑓})
36 eusn 4660 . . . 4 (∃!𝑓 𝑓 ∈ (ℤring(Hom ‘𝐶)𝑟) ↔ ∃𝑓(ℤring(Hom ‘𝐶)𝑟) = {𝑓})
3735, 36sylibr 235 . . 3 ((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (ℤring(Hom ‘𝐶)𝑟))
3837ralrimiva 3182 . 2 (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (Base‘𝐶)∃!𝑓 𝑓 ∈ (ℤring(Hom ‘𝐶)𝑟))
393ringccat 44193 . . . 4 (𝑈𝑉𝐶 ∈ Cat)
405, 39syl 17 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
4112a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℤring ∈ Ring)
4210, 41elind 4170 . . . 4 (𝜑 → ℤring ∈ (𝑈 ∩ Ring))
4342, 16eleqtrrd 2916 . . 3 (𝜑 → ℤring ∈ (Base‘𝐶))
444, 6, 40, 43isinito 17250 . 2 (𝜑 → (ℤring ∈ (InitO‘𝐶) ↔ ∀𝑟 ∈ (Base‘𝐶)∃!𝑓 𝑓 ∈ (ℤring(Hom ‘𝐶)𝑟)))
4538, 44mpbird 258 1 (𝜑 → ℤring ∈ (InitO‘𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wex 1771  wcel 2105  ∃!weu 2649  wral 3138  Vcvv 3495  cin 3934  {csn 4559  cmpt 5138   × cxp 5547  cres 5551  cfv 6349  (class class class)co 7145  cz 11970  Basecbs 16473  Hom chom 16566  Catccat 16925  InitOcinito 17238  .gcmg 18164  1rcur 19182  Ringcrg 19228   RingHom crh 19395  ringzring 20547  RingCatcringc 44172
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-addf 10605  ax-mulf 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-oadd 8097  df-er 8279  df-map 8398  df-pm 8399  df-ixp 8451  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-5 11692  df-6 11693  df-7 11694  df-8 11695  df-9 11696  df-n0 11887  df-z 11971  df-dec 12088  df-uz 12233  df-fz 12883  df-seq 13360  df-struct 16475  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-ress 16481  df-plusg 16568  df-mulr 16569  df-starv 16570  df-tset 16574  df-ple 16575  df-ds 16577  df-unif 16578  df-hom 16579  df-cco 16580  df-0g 16705  df-cat 16929  df-cid 16930  df-homf 16931  df-ssc 17070  df-resc 17071  df-subc 17072  df-inito 17241  df-estrc 17363  df-mgm 17842  df-sgrp 17891  df-mnd 17902  df-mhm 17946  df-grp 18046  df-minusg 18047  df-mulg 18165  df-subg 18216  df-ghm 18296  df-cmn 18839  df-mgp 19171  df-ur 19183  df-ring 19230  df-cring 19231  df-rnghom 19398  df-subrg 19464  df-cnfld 20476  df-zring 20548  df-ringc 44174
This theorem is referenced by:  nzerooringczr  44241
  Copyright terms: Public domain W3C validator