MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  irredlmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem irredlmul 18473
Description: The product of a unit and an irreducible element is irreducible. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
irredn0.i 𝐼 = (Irred‘𝑅)
irredrmul.u 𝑈 = (Unit‘𝑅)
irredrmul.t · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
irredlmul ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈𝑌𝐼) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼)

Proof of Theorem irredlmul
StepHypRef Expression
1 eqid 2605 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2 irredrmul.t . . 3 · = (.r𝑅)
3 eqid 2605 . . 3 (oppr𝑅) = (oppr𝑅)
4 eqid 2605 . . 3 (.r‘(oppr𝑅)) = (.r‘(oppr𝑅))
51, 2, 3, 4opprmul 18391 . 2 (𝑌(.r‘(oppr𝑅))𝑋) = (𝑋 · 𝑌)
63opprring 18396 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (oppr𝑅) ∈ Ring)
7 irredn0.i . . . . . 6 𝐼 = (Irred‘𝑅)
83, 7opprirred 18467 . . . . 5 𝐼 = (Irred‘(oppr𝑅))
9 irredrmul.u . . . . . 6 𝑈 = (Unit‘𝑅)
109, 3opprunit 18426 . . . . 5 𝑈 = (Unit‘(oppr𝑅))
118, 10, 4irredrmul 18472 . . . 4 (((oppr𝑅) ∈ Ring ∧ 𝑌𝐼𝑋𝑈) → (𝑌(.r‘(oppr𝑅))𝑋) ∈ 𝐼)
126, 11syl3an1 1350 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐼𝑋𝑈) → (𝑌(.r‘(oppr𝑅))𝑋) ∈ 𝐼)
13123com23 1262 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈𝑌𝐼) → (𝑌(.r‘(oppr𝑅))𝑋) ∈ 𝐼)
145, 13syl5eqelr 2688 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈𝑌𝐼) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1975  cfv 5786  (class class class)co 6523  Basecbs 15637  .rcmulr 15711  Ringcrg 18312  opprcoppr 18387  Unitcui 18404  Irredcir 18405
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-tpos 7212  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-er 7602  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-nn 10864  df-2 10922  df-3 10923  df-ndx 15640  df-slot 15641  df-base 15642  df-sets 15643  df-ress 15644  df-plusg 15723  df-mulr 15724  df-0g 15867  df-mgm 17007  df-sgrp 17049  df-mnd 17060  df-grp 17190  df-minusg 17191  df-mgp 18255  df-ur 18267  df-ring 18314  df-oppr 18388  df-dvdsr 18406  df-unit 18407  df-irred 18408  df-invr 18437  df-dvr 18448
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator