MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  irredn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem irredn0 18472
Description: The additive identity is not irreducible. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
irredn0.i 𝐼 = (Irred‘𝑅)
irredn0.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
irredn0 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼) → 𝑋0 )

Proof of Theorem irredn0
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2609 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2 irredn0.z . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝑅)
31, 2ring0cl 18338 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ (Base‘𝑅))
43anim1i 589 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ¬ 0 ∈ (Unit‘𝑅)) → ( 0 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ¬ 0 ∈ (Unit‘𝑅)))
5 eldif 3549 . . . . . . . 8 ( 0 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)) ↔ ( 0 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ¬ 0 ∈ (Unit‘𝑅)))
64, 5sylibr 222 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ¬ 0 ∈ (Unit‘𝑅)) → 0 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)))
7 eqid 2609 . . . . . . . . . 10 (.r𝑅) = (.r𝑅)
81, 7, 2ringlz 18356 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 (.r𝑅) 0 ) = 0 )
93, 8mpdan 698 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → ( 0 (.r𝑅) 0 ) = 0 )
109adantr 479 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ¬ 0 ∈ (Unit‘𝑅)) → ( 0 (.r𝑅) 0 ) = 0 )
11 oveq1 6534 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (𝑥(.r𝑅)𝑦) = ( 0 (.r𝑅)𝑦))
1211eqeq1d 2611 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 ↔ ( 0 (.r𝑅)𝑦) = 0 ))
13 oveq2 6535 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 0 → ( 0 (.r𝑅)𝑦) = ( 0 (.r𝑅) 0 ))
1413eqeq1d 2611 . . . . . . . 8 (𝑦 = 0 → (( 0 (.r𝑅)𝑦) = 0 ↔ ( 0 (.r𝑅) 0 ) = 0 ))
1512, 14rspc2ev 3294 . . . . . . 7 (( 0 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)) ∧ 0 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)) ∧ ( 0 (.r𝑅) 0 ) = 0 ) → ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∃𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 )
166, 6, 10, 15syl3anc 1317 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ¬ 0 ∈ (Unit‘𝑅)) → ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∃𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 )
1716ex 448 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (¬ 0 ∈ (Unit‘𝑅) → ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∃𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 ))
1817orrd 391 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → ( 0 ∈ (Unit‘𝑅) ∨ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∃𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 ))
19 eqid 2609 . . . . . 6 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
20 irredn0.i . . . . . 6 𝐼 = (Irred‘𝑅)
21 eqid 2609 . . . . . 6 ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)) = ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))
221, 19, 20, 21, 7isnirred 18469 . . . . 5 ( 0 ∈ (Base‘𝑅) → (¬ 0𝐼 ↔ ( 0 ∈ (Unit‘𝑅) ∨ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∃𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 )))
233, 22syl 17 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (¬ 0𝐼 ↔ ( 0 ∈ (Unit‘𝑅) ∨ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∃𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 )))
2418, 23mpbird 245 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → ¬ 0𝐼)
2524adantr 479 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼) → ¬ 0𝐼)
26 simpr 475 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼) → 𝑋𝐼)
27 eleq1 2675 . . . 4 (𝑋 = 0 → (𝑋𝐼0𝐼))
2826, 27syl5ibcom 233 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼) → (𝑋 = 00𝐼))
2928necon3bd 2795 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼) → (¬ 0𝐼𝑋0 ))
3025, 29mpd 15 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼) → 𝑋0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wo 381  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  wrex 2896  cdif 3536  cfv 5790  (class class class)co 6527  Basecbs 15641  .rcmulr 15715  0gc0g 15869  Ringcrg 18316  Unitcui 18408  Irredcir 18409
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-2 10926  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-plusg 15727  df-0g 15871  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-grp 17194  df-minusg 17195  df-mgp 18259  df-ring 18318  df-irred 18412
This theorem is referenced by:  prmirred  19607
  Copyright terms: Public domain W3C validator