Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isPth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isPth 40921
Description: Conditions for a pair of functions to be a path (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Oct-2017.) (Revised by AV, 9-Jan-2021.) (Proof shortened by AV, 31-Jan-2021.)
Assertion
Ref Expression
isPth ((𝐺𝑊𝐹𝑈𝑃𝑍) → (𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅)))

Proof of Theorem isPth
Dummy variables 𝑓 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pthsfval 40919 . 2 (𝐺𝑊 → (PathS‘𝐺) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(TrailS‘𝐺)𝑝 ∧ Fun (𝑝 ↾ (1..^(#‘𝑓))) ∧ ((𝑝 “ {0, (#‘𝑓)}) ∩ (𝑝 “ (1..^(#‘𝑓)))) = ∅)})
2 simpr 476 . . . . 5 ((𝑓 = 𝐹𝑝 = 𝑃) → 𝑝 = 𝑃)
3 fveq2 6088 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 → (#‘𝑓) = (#‘𝐹))
43oveq2d 6543 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 → (1..^(#‘𝑓)) = (1..^(#‘𝐹)))
54adantr 480 . . . . 5 ((𝑓 = 𝐹𝑝 = 𝑃) → (1..^(#‘𝑓)) = (1..^(#‘𝐹)))
62, 5reseq12d 5305 . . . 4 ((𝑓 = 𝐹𝑝 = 𝑃) → (𝑝 ↾ (1..^(#‘𝑓))) = (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))))
76cnveqd 5208 . . 3 ((𝑓 = 𝐹𝑝 = 𝑃) → (𝑝 ↾ (1..^(#‘𝑓))) = (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))))
87funeqd 5811 . 2 ((𝑓 = 𝐹𝑝 = 𝑃) → (Fun (𝑝 ↾ (1..^(#‘𝑓))) ↔ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹)))))
93preq2d 4219 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 → {0, (#‘𝑓)} = {0, (#‘𝐹)})
109adantr 480 . . . . 5 ((𝑓 = 𝐹𝑝 = 𝑃) → {0, (#‘𝑓)} = {0, (#‘𝐹)})
112, 10imaeq12d 5373 . . . 4 ((𝑓 = 𝐹𝑝 = 𝑃) → (𝑝 “ {0, (#‘𝑓)}) = (𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}))
122, 5imaeq12d 5373 . . . 4 ((𝑓 = 𝐹𝑝 = 𝑃) → (𝑝 “ (1..^(#‘𝑓))) = (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹))))
1311, 12ineq12d 3777 . . 3 ((𝑓 = 𝐹𝑝 = 𝑃) → ((𝑝 “ {0, (#‘𝑓)}) ∩ (𝑝 “ (1..^(#‘𝑓)))) = ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))))
1413eqeq1d 2612 . 2 ((𝑓 = 𝐹𝑝 = 𝑃) → (((𝑝 “ {0, (#‘𝑓)}) ∩ (𝑝 “ (1..^(#‘𝑓)))) = ∅ ↔ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅))
151, 8, 142rbropap 4931 1 ((𝐺𝑊𝐹𝑈𝑃𝑍) → (𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  cin 3539  c0 3874  {cpr 4127   class class class wbr 4578  ccnv 5027  cres 5030  cima 5031  Fun wfun 5784  cfv 5790  (class class class)co 6527  0cc0 9793  1c1 9794  ..^cfzo 12292  #chash 12937  TrailSctrls 40891  PathScpths 40911
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4694  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1007  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4368  df-int 4406  df-iun 4452  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-tr 4676  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-er 7607  df-map 7724  df-pm 7725  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-card 8626  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-nn 10871  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523  df-fz 12156  df-fzo 12293  df-hash 12938  df-word 13103  df-1wlks 40792  df-trls 40893  df-pths 40915
This theorem is referenced by:  PthisTrl  40923  sPthisPth  40924  pthdivtx  40927  2pthnloop  40929  pthdepissPth  40933  pthd  40967  0pth-av  41285  1pthd  41302
  Copyright terms: Public domain W3C validator