Theorem isabld 18914

Description: Properties that determine an Abelian group. (Contributed by NM, 6-Aug-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
isabld.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐺))
isabld.p	⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝐺))
isabld.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
isabld.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
isabld	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐺,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   + (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem isabld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isabld.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2		isabld.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐺))
3		isabld.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝐺))
4		grpmnd 18104	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
5	1, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
6		isabld.c	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
7	2, 3, 5, 6	iscmnd 18913	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
8		isabl 18904	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Abel ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ CMnd))
9	1, 7, 8	sylanbrc 585	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6350  (class class class)co 7150  Basecbs 16477  +_gcplusg 16559  Mndcmnd 17905  Grpcgrp 18097  CMndccmn 18900  Abelcabl 18901

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3497  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4833  df-br 5060  df-iota 6309  df-fv 6358  df-ov 7153  df-grp 18100  df-cmn 18902  df-abl 18903

This theorem is referenced by:  subgabl  18950  gex2abl  18965  cygabl  19004  cygablOLD  19005  ringabl  19324  lmodabl  19675  dchrabl  25824  tgrpabl  37881  erngdvlem2N  38119  erngdvlem2-rN  38127