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Theorem isacs4lem 17089
Description: In a closure system in which directed unions of closed sets are closed, closure commutes with directed unions. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
acsdrscl.f 𝐹 = (mrCls‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
isacs4lem ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → 𝑠𝐶)) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹 𝑡) = (𝐹𝑡))))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑠,𝑡   𝐹,𝑠,𝑡   𝑋,𝑠,𝑡

Proof of Theorem isacs4lem
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 789 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → 𝑠𝐶)) ∧ (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (toInc‘𝑡) ∈ Dirset)) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
2 elpwi 4140 . . . . . . . 8 (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋𝑡 ⊆ 𝒫 𝑋)
32ad2antrl 763 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → 𝑠𝐶)) ∧ (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (toInc‘𝑡) ∈ Dirset)) → 𝑡 ⊆ 𝒫 𝑋)
4 acsdrscl.f . . . . . . . 8 𝐹 = (mrCls‘𝐶)
54mrcuni 16202 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑡 ⊆ 𝒫 𝑋) → (𝐹 𝑡) = (𝐹 (𝐹𝑡)))
61, 3, 5syl2anc 692 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → 𝑠𝐶)) ∧ (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (toInc‘𝑡) ∈ Dirset)) → (𝐹 𝑡) = (𝐹 (𝐹𝑡)))
74mrcf 16190 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐹:𝒫 𝑋𝐶)
87ffnd 6003 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐹 Fn 𝒫 𝑋)
98adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (toInc‘𝑡) ∈ Dirset)) → 𝐹 Fn 𝒫 𝑋)
10 simpll 789 . . . . . . . . . . 11 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (toInc‘𝑡) ∈ Dirset)) ∧ (𝑥𝑦𝑦𝑋)) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
11 simprl 793 . . . . . . . . . . 11 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (toInc‘𝑡) ∈ Dirset)) ∧ (𝑥𝑦𝑦𝑋)) → 𝑥𝑦)
12 simprr 795 . . . . . . . . . . 11 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (toInc‘𝑡) ∈ Dirset)) ∧ (𝑥𝑦𝑦𝑋)) → 𝑦𝑋)
1310, 4, 11, 12mrcssd 16205 . . . . . . . . . 10 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (toInc‘𝑡) ∈ Dirset)) ∧ (𝑥𝑦𝑦𝑋)) → (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹𝑦))
14 simprr 795 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (toInc‘𝑡) ∈ Dirset)) → (toInc‘𝑡) ∈ Dirset)
152ad2antrl 763 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (toInc‘𝑡) ∈ Dirset)) → 𝑡 ⊆ 𝒫 𝑋)
16 fvex 6158 . . . . . . . . . . . . 13 (mrCls‘𝐶) ∈ V
174, 16eqeltri 2694 . . . . . . . . . . . 12 𝐹 ∈ V
1817imaex 7051 . . . . . . . . . . 11 (𝐹𝑡) ∈ V
1918a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (toInc‘𝑡) ∈ Dirset)) → (𝐹𝑡) ∈ V)
209, 13, 14, 15, 19ipodrsima 17086 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (toInc‘𝑡) ∈ Dirset)) → (toInc‘(𝐹𝑡)) ∈ Dirset)
2120adantlr 750 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → 𝑠𝐶)) ∧ (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (toInc‘𝑡) ∈ Dirset)) → (toInc‘(𝐹𝑡)) ∈ Dirset)
22 imassrn 5436 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹𝑡) ⊆ ran 𝐹
23 frn 6010 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:𝒫 𝑋𝐶 → ran 𝐹𝐶)
247, 23syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → ran 𝐹𝐶)
2522, 24syl5ss 3594 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → (𝐹𝑡) ⊆ 𝐶)
2618elpw 4136 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑡) ∈ 𝒫 𝐶 ↔ (𝐹𝑡) ⊆ 𝐶)
2725, 26sylibr 224 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → (𝐹𝑡) ∈ 𝒫 𝐶)
2827ad2antrr 761 . . . . . . . . 9 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → 𝑠𝐶)) ∧ (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (toInc‘𝑡) ∈ Dirset)) → (𝐹𝑡) ∈ 𝒫 𝐶)
29 simplr 791 . . . . . . . . 9 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → 𝑠𝐶)) ∧ (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (toInc‘𝑡) ∈ Dirset)) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → 𝑠𝐶))
30 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = (𝐹𝑡) → (toInc‘𝑠) = (toInc‘(𝐹𝑡)))
3130eleq1d 2683 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = (𝐹𝑡) → ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ↔ (toInc‘(𝐹𝑡)) ∈ Dirset))
32 unieq 4410 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = (𝐹𝑡) → 𝑠 = (𝐹𝑡))
3332eleq1d 2683 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = (𝐹𝑡) → ( 𝑠𝐶 (𝐹𝑡) ∈ 𝐶))
3431, 33imbi12d 334 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = (𝐹𝑡) → (((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → 𝑠𝐶) ↔ ((toInc‘(𝐹𝑡)) ∈ Dirset → (𝐹𝑡) ∈ 𝐶)))
3534rspcva 3293 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑡) ∈ 𝒫 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → 𝑠𝐶)) → ((toInc‘(𝐹𝑡)) ∈ Dirset → (𝐹𝑡) ∈ 𝐶))
3628, 29, 35syl2anc 692 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → 𝑠𝐶)) ∧ (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (toInc‘𝑡) ∈ Dirset)) → ((toInc‘(𝐹𝑡)) ∈ Dirset → (𝐹𝑡) ∈ 𝐶))
3721, 36mpd 15 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → 𝑠𝐶)) ∧ (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (toInc‘𝑡) ∈ Dirset)) → (𝐹𝑡) ∈ 𝐶)
384mrcid 16194 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ (𝐹𝑡) ∈ 𝐶) → (𝐹 (𝐹𝑡)) = (𝐹𝑡))
391, 37, 38syl2anc 692 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → 𝑠𝐶)) ∧ (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (toInc‘𝑡) ∈ Dirset)) → (𝐹 (𝐹𝑡)) = (𝐹𝑡))
406, 39eqtrd 2655 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → 𝑠𝐶)) ∧ (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (toInc‘𝑡) ∈ Dirset)) → (𝐹 𝑡) = (𝐹𝑡))
4140exp32 630 . . . 4 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → 𝑠𝐶)) → (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 → ((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹 𝑡) = (𝐹𝑡))))
4241ralrimiv 2959 . . 3 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → 𝑠𝐶)) → ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹 𝑡) = (𝐹𝑡)))
4342ex 450 . 2 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → 𝑠𝐶) → ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹 𝑡) = (𝐹𝑡))))
4443imdistani 725 1 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → 𝑠𝐶)) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹 𝑡) = (𝐹𝑡))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  Vcvv 3186  wss 3555  𝒫 cpw 4130   cuni 4402  ran crn 5075  cima 5077   Fn wfn 5842  wf 5843  cfv 5847  Moorecmre 16163  mrClscmrc 16164  Dirsetcdrs 16848  toInccipo 17072
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-fz 12269  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ocomp 15884  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-preset 16849  df-drs 16850  df-poset 16867  df-ipo 17073
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