Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isacs5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isacs5 17166
 Description: A closure system is algebraic iff the closure of a generating set is the union of the closures of its finite subsets. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
acsdrscl.f 𝐹 = (mrCls‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
isacs5 (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ↔ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑠   𝐹,𝑠   𝑋,𝑠

Proof of Theorem isacs5
Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isacs3lem 17160 . . 3 (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → 𝑠𝐶)))
2 acsdrscl.f . . . 4 𝐹 = (mrCls‘𝐶)
32isacs4lem 17162 . . 3 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → 𝑠𝐶)) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹 𝑡) = (𝐹𝑡))))
42isacs5lem 17163 . . 3 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹 𝑡) = (𝐹𝑡))) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))
51, 3, 43syl 18 . 2 (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))
6 simpl 473 . . 3 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
7 elpwi 4166 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ 𝒫 𝑋𝑠𝑋)
82mrcidb2 16272 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠𝑋) → (𝑠𝐶 ↔ (𝐹𝑠) ⊆ 𝑠))
97, 8sylan2 491 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑠𝐶 ↔ (𝐹𝑠) ⊆ 𝑠))
109adantr 481 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ (𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → (𝑠𝐶 ↔ (𝐹𝑠) ⊆ 𝑠))
11 simpr 477 . . . . . . . . . 10 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ (𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → (𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
122mrcf 16263 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐹:𝒫 𝑋𝐶)
13 ffun 6046 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝒫 𝑋𝐶 → Fun 𝐹)
14 funiunfv 6503 . . . . . . . . . . . 12 (Fun 𝐹 𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹𝑡) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
1512, 13, 143syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹𝑡) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
1615ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ (𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → 𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹𝑡) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
1711, 16eqtr4d 2658 . . . . . . . . 9 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ (𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → (𝐹𝑠) = 𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹𝑡))
1817sseq1d 3630 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ (𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → ((𝐹𝑠) ⊆ 𝑠 𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹𝑡) ⊆ 𝑠))
19 iunss 4559 . . . . . . . 8 ( 𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹𝑡) ⊆ 𝑠 ↔ ∀𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹𝑡) ⊆ 𝑠)
2018, 19syl6bb 276 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ (𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → ((𝐹𝑠) ⊆ 𝑠 ↔ ∀𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹𝑡) ⊆ 𝑠))
2110, 20bitrd 268 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ (𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → (𝑠𝐶 ↔ ∀𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹𝑡) ⊆ 𝑠))
2221ex 450 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) → (𝑠𝐶 ↔ ∀𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹𝑡) ⊆ 𝑠)))
2322ralimdva 2961 . . . 4 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝑠𝐶 ↔ ∀𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹𝑡) ⊆ 𝑠)))
2423imp 445 . . 3 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝑠𝐶 ↔ ∀𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹𝑡) ⊆ 𝑠))
252isacs2 16308 . . 3 (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ↔ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝑠𝐶 ↔ ∀𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹𝑡) ⊆ 𝑠)))
266, 24, 25sylanbrc 698 . 2 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → 𝐶 ∈ (ACS‘𝑋))
275, 26impbii 199 1 (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ↔ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1482   ∈ wcel 1989  ∀wral 2911   ∩ cin 3571   ⊆ wss 3572  𝒫 cpw 4156  ∪ cuni 4434  ∪ ciun 4518   “ cima 5115  Fun wfun 5880  ⟶wf 5882  ‘cfv 5886  Fincfn 7952  Moorecmre 16236  mrClscmrc 16237  ACScacs 16239  Dirsetcdrs 16921  toInccipo 17145 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-1o 7557  df-oadd 7561  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-fin 7956  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-nn 11018  df-2 11076  df-3 11077  df-4 11078  df-5 11079  df-6 11080  df-7 11081  df-8 11082  df-9 11083  df-n0 11290  df-z 11375  df-dec 11491  df-uz 11685  df-fz 12324  df-struct 15853  df-ndx 15854  df-slot 15855  df-base 15857  df-tset 15954  df-ple 15955  df-ocomp 15957  df-mre 16240  df-mrc 16241  df-acs 16243  df-preset 16922  df-drs 16923  df-poset 16940  df-ipo 17146 This theorem is referenced by:  isacs4  17167
 Copyright terms: Public domain W3C validator