MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isacs5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isacs5 17166
Description: A closure system is algebraic iff the closure of a generating set is the union of the closures of its finite subsets. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
acsdrscl.f 𝐹 = (mrCls‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
isacs5 (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ↔ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑠   𝐹,𝑠   𝑋,𝑠

Proof of Theorem isacs5
Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isacs3lem 17160 . . 3 (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → 𝑠𝐶)))
2 acsdrscl.f . . . 4 𝐹 = (mrCls‘𝐶)
32isacs4lem 17162 . . 3 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → 𝑠𝐶)) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹 𝑡) = (𝐹𝑡))))
42isacs5lem 17163 . . 3 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹 𝑡) = (𝐹𝑡))) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))
51, 3, 43syl 18 . 2 (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))
6 simpl 473 . . 3 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
7 elpwi 4166 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ 𝒫 𝑋𝑠𝑋)
82mrcidb2 16272 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠𝑋) → (𝑠𝐶 ↔ (𝐹𝑠) ⊆ 𝑠))
97, 8sylan2 491 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑠𝐶 ↔ (𝐹𝑠) ⊆ 𝑠))
109adantr 481 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ (𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → (𝑠𝐶 ↔ (𝐹𝑠) ⊆ 𝑠))
11 simpr 477 . . . . . . . . . 10 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ (𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → (𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
122mrcf 16263 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐹:𝒫 𝑋𝐶)
13 ffun 6046 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝒫 𝑋𝐶 → Fun 𝐹)
14 funiunfv 6503 . . . . . . . . . . . 12 (Fun 𝐹 𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹𝑡) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
1512, 13, 143syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹𝑡) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
1615ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ (𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → 𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹𝑡) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
1711, 16eqtr4d 2658 . . . . . . . . 9 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ (𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → (𝐹𝑠) = 𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹𝑡))
1817sseq1d 3630 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ (𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → ((𝐹𝑠) ⊆ 𝑠 𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹𝑡) ⊆ 𝑠))
19 iunss 4559 . . . . . . . 8 ( 𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹𝑡) ⊆ 𝑠 ↔ ∀𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹𝑡) ⊆ 𝑠)
2018, 19syl6bb 276 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ (𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → ((𝐹𝑠) ⊆ 𝑠 ↔ ∀𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹𝑡) ⊆ 𝑠))
2110, 20bitrd 268 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ (𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → (𝑠𝐶 ↔ ∀𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹𝑡) ⊆ 𝑠))
2221ex 450 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) → (𝑠𝐶 ↔ ∀𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹𝑡) ⊆ 𝑠)))
2322ralimdva 2961 . . . 4 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝑠𝐶 ↔ ∀𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹𝑡) ⊆ 𝑠)))
2423imp 445 . . 3 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝑠𝐶 ↔ ∀𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹𝑡) ⊆ 𝑠))
252isacs2 16308 . . 3 (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ↔ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝑠𝐶 ↔ ∀𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(𝐹𝑡) ⊆ 𝑠)))
266, 24, 25sylanbrc 698 . 2 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → 𝐶 ∈ (ACS‘𝑋))
275, 26impbii 199 1 (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ↔ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1482  wcel 1989  wral 2911  cin 3571  wss 3572  𝒫 cpw 4156   cuni 4434   ciun 4518  cima 5115  Fun wfun 5880  wf 5882  cfv 5886  Fincfn 7952  Moorecmre 16236  mrClscmrc 16237  ACScacs 16239  Dirsetcdrs 16921  toInccipo 17145
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-1o 7557  df-oadd 7561  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-fin 7956  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-nn 11018  df-2 11076  df-3 11077  df-4 11078  df-5 11079  df-6 11080  df-7 11081  df-8 11082  df-9 11083  df-n0 11290  df-z 11375  df-dec 11491  df-uz 11685  df-fz 12324  df-struct 15853  df-ndx 15854  df-slot 15855  df-base 15857  df-tset 15954  df-ple 15955  df-ocomp 15957  df-mre 16240  df-mrc 16241  df-acs 16243  df-preset 16922  df-drs 16923  df-poset 16940  df-ipo 17146
This theorem is referenced by:  isacs4  17167
  Copyright terms: Public domain W3C validator