Theorem isarchiofld 30883

Description: Axiom of Archimedes : a characterization of the Archimedean property for ordered fields. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
isarchiofld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
isarchiofld.h	⊢ 𝐻 = (ℤRHom‘𝑊)
isarchiofld.l	⊢ < = (lt‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
isarchiofld	⊢ (𝑊 ∈ oField → (𝑊 ∈ Archi ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐵   𝑛,𝑊,𝑥   𝑥,𝐻   < ,𝑛,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐻(𝑛)

Proof of Theorem isarchiofld

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isofld 30868	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ oField ↔ (𝑊 ∈ Field ∧ 𝑊 ∈ oRing))
2	1	simprbi 499	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ oField → 𝑊 ∈ oRing)
3		orngogrp 30867	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ oRing → 𝑊 ∈ oGrp)
4		isarchiofld.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
5		eqid 2819	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
6		isarchiofld.l	. . . 4 ⊢ < = (lt‘𝑊)
7		eqid 2819	. . . 4 ⊢ (.g‘𝑊) = (.g‘𝑊)
8	4, 5, 6, 7	isarchi3 30809	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp → (𝑊 ∈ Archi ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((0g‘𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)𝑦))))
9	2, 3, 8	3syl 18	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ oField → (𝑊 ∈ Archi ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((0g‘𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)𝑦))))
10		orngring 30866	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ oRing → 𝑊 ∈ Ring)
11		eqid 2819	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑊) = (1r‘𝑊)
12	4, 11	ringidcl 19310	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → (1r‘𝑊) ∈ 𝐵)
13	2, 10, 12	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ oField → (1r‘𝑊) ∈ 𝐵)
14		breq2 5061	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (1r‘𝑊) → ((0g‘𝑊) < 𝑦 ↔ (0g‘𝑊) < (1r‘𝑊)))
15		oveq2 7156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (1r‘𝑊) → (𝑛(.g‘𝑊)𝑦) = (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊)))
16	15	breq2d 5069	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (1r‘𝑊) → (𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)𝑦) ↔ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊))))
17	16	rexbidv 3295	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (1r‘𝑊) → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)𝑦) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊))))
18	14, 17	imbi12d 347	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (1r‘𝑊) → (((0g‘𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)𝑦)) ↔ ((0g‘𝑊) < (1r‘𝑊) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊)))))
19	18	ralbidv 3195	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (1r‘𝑊) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ((0g‘𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((0g‘𝑊) < (1r‘𝑊) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊)))))
20	19	rspcv 3616	. . . . . 6 ⊢ ((1r‘𝑊) ∈ 𝐵 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((0g‘𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)𝑦)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((0g‘𝑊) < (1r‘𝑊) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊)))))
21	13, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ oField → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((0g‘𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)𝑦)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((0g‘𝑊) < (1r‘𝑊) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊)))))
22	5, 11, 6	ofldlt1 30879	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ oField → (0g‘𝑊) < (1r‘𝑊))
23		pm5.5 364	. . . . . . 7 ⊢ ((0g‘𝑊) < (1r‘𝑊) → (((0g‘𝑊) < (1r‘𝑊) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊))) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊))))
24	22, 23	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ oField → (((0g‘𝑊) < (1r‘𝑊) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊))) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊))))
25	24	ralbidv 3195	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ oField → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ((0g‘𝑊) < (1r‘𝑊) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊))))
26	21, 25	sylibd 241	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ oField → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((0g‘𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)𝑦)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊))))
27	2, 10	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ oField → 𝑊 ∈ Ring)
28		nnz 11996	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
29		isarchiofld.h	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = (ℤRHom‘𝑊)
30	29, 7, 11	zrhmulg 20649	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Ring ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐻‘𝑛) = (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊)))
31	27, 28, 30	syl2an 597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ oField ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑛) = (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊)))
32	31	breq2d 5069	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ oField ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥 < (𝐻‘𝑛) ↔ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊))))
33	32	rexbidva 3294	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ oField → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊))))
34	33	ralbidv 3195	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ oField → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊))))
35	26, 34	sylibrd 261	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ oField → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((0g‘𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)𝑦)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)))
36		nfv 1909	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑊 ∈ oField
37		nfra1 3217	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)
38	36, 37	nfan 1894	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛))
39		nfv 1909	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ 𝐵
40	38, 39	nfan 1894	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)
41	27	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) → 𝑊 ∈ Ring)
42		simplrr 776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝐵)
43		simplrl 775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝐵)
44		simpr 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) → (0g‘𝑊) < 𝑦)
45		simplll 773	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) → 𝑊 ∈ oField)
46		ringgrp 19294	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Grp)
47	4, 5	grpidcl 18123	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → (0g‘𝑊) ∈ 𝐵)
48	41, 46, 47	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) → (0g‘𝑊) ∈ 𝐵)
49	6	pltne 17564	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ oField ∧ (0g‘𝑊) ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑊) < 𝑦 → (0g‘𝑊) ≠ 𝑦))
50	45, 48, 43, 49	syl3anc 1366	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) → ((0g‘𝑊) < 𝑦 → (0g‘𝑊) ≠ 𝑦))
51	44, 50	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) → (0g‘𝑊) ≠ 𝑦)
52	51	necomd 3069	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) → 𝑦 ≠ (0g‘𝑊))
53	1	simplbi 500	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 ∈ oField → 𝑊 ∈ Field)
54		isfld 19503	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊 ∈ Field ↔ (𝑊 ∈ DivRing ∧ 𝑊 ∈ CRing))
55	54	simplbi 500	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 ∈ Field → 𝑊 ∈ DivRing)
56	53, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ oField → 𝑊 ∈ DivRing)
57		eqid 2819	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Unit‘𝑊) = (Unit‘𝑊)
58	4, 57, 5	drngunit 19499	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ DivRing → (𝑦 ∈ (Unit‘𝑊) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊))))
59	45, 56, 58	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) → (𝑦 ∈ (Unit‘𝑊) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊))))
60	43, 52, 59	mpbir2and 711	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) → 𝑦 ∈ (Unit‘𝑊))
61		eqid 2819	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (/r‘𝑊) = (/r‘𝑊)
62	4, 57, 61	dvrcl 19428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘𝑊)) → (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) ∈ 𝐵)
63	41, 42, 60, 62	syl3anc 1366	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) → (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) ∈ 𝐵)
64		simpr 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛))
65		breq1 5060	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 < (𝐻‘𝑛) ↔ 𝑧 < (𝐻‘𝑛)))
66	65	rexbidv 3295	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑧 < (𝐻‘𝑛)))
67	66	cbvralvw 3448	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑧 < (𝐻‘𝑛))
68	64, 67	sylib 220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) → ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑧 < (𝐻‘𝑛))
69	68	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) → ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑧 < (𝐻‘𝑛))
70		breq1 5060	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) → (𝑧 < (𝐻‘𝑛) ↔ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)))
71	70	rexbidv 3295	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑧 < (𝐻‘𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)))
72	71	rspcv 3616	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥(/r‘𝑊)𝑦) ∈ 𝐵 → (∀𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑧 < (𝐻‘𝑛) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)))
73	63, 69, 72	sylc 65	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛))
74		eqid 2819	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (.r‘𝑊) = (.r‘𝑊)
75		simp-4l 781	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → 𝑊 ∈ oField)
76	75, 2	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → 𝑊 ∈ oRing)
77	75, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → 𝑊 ∈ Ring)
78		simp-4r 782	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
79	78	simprd 498	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
80	78	simpld 497	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
81		simpllr 774	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → (0g‘𝑊) < 𝑦)
82	77, 46, 47	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → (0g‘𝑊) ∈ 𝐵)
83	75, 82, 80, 49	syl3anc 1366	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → ((0g‘𝑊) < 𝑦 → (0g‘𝑊) ≠ 𝑦))
84	81, 83	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → (0g‘𝑊) ≠ 𝑦)
85	84	necomd 3069	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → 𝑦 ≠ (0g‘𝑊))
86	75, 56, 58	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → (𝑦 ∈ (Unit‘𝑊) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊))))
87	80, 85, 86	mpbir2and 711	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → 𝑦 ∈ (Unit‘𝑊))
88	77, 79, 87, 62	syl3anc 1366	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) ∈ 𝐵)
89		simplr 767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → 𝑛 ∈ ℕ)
90	75, 89, 31	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → (𝐻‘𝑛) = (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊)))
91	77, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → 𝑊 ∈ Grp)
92	89, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → 𝑛 ∈ ℤ)
93	77, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → (1r‘𝑊) ∈ 𝐵)
94	4, 7	mulgcl 18237	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ (1r‘𝑊) ∈ 𝐵) → (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊)) ∈ 𝐵)
95	91, 92, 93, 94	syl3anc 1366	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊)) ∈ 𝐵)
96	90, 95	eqeltrd 2911	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → (𝐻‘𝑛) ∈ 𝐵)
97	75, 56	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → 𝑊 ∈ DivRing)
98		simpr 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛))
99	4, 74, 5, 76, 88, 96, 80, 6, 97, 98, 81	orngrmullt 30874	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → ((𝑥(/r‘𝑊)𝑦)(.r‘𝑊)𝑦) < ((𝐻‘𝑛)(.r‘𝑊)𝑦))
100	4, 57, 61, 74	dvrcan1 19433	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘𝑊)) → ((𝑥(/r‘𝑊)𝑦)(.r‘𝑊)𝑦) = 𝑥)
101	77, 79, 87, 100	syl3anc 1366	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → ((𝑥(/r‘𝑊)𝑦)(.r‘𝑊)𝑦) = 𝑥)
102	90	oveq1d 7163	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → ((𝐻‘𝑛)(.r‘𝑊)𝑦) = ((𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊))(.r‘𝑊)𝑦))
103	4, 7, 74	mulgass2 19343	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Ring ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ (1r‘𝑊) ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊))(.r‘𝑊)𝑦) = (𝑛(.g‘𝑊)((1r‘𝑊)(.r‘𝑊)𝑦)))
104	77, 92, 93, 80, 103	syl13anc 1367	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → ((𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊))(.r‘𝑊)𝑦) = (𝑛(.g‘𝑊)((1r‘𝑊)(.r‘𝑊)𝑦)))
105	4, 74, 11	ringlidm 19313	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑊)(.r‘𝑊)𝑦) = 𝑦)
106	77, 80, 105	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → ((1r‘𝑊)(.r‘𝑊)𝑦) = 𝑦)
107	106	oveq2d 7164	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → (𝑛(.g‘𝑊)((1r‘𝑊)(.r‘𝑊)𝑦)) = (𝑛(.g‘𝑊)𝑦))
108	102, 104, 107	3eqtrd 2858	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → ((𝐻‘𝑛)(.r‘𝑊)𝑦) = (𝑛(.g‘𝑊)𝑦))
109	99, 101, 108	3brtr3d 5088	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)𝑦))
110	109	ex 415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛) → 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)𝑦)))
111	110	reximdva 3272	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)𝑦)))
112	111	adantllr 717	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)𝑦)))
113	73, 112	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)𝑦))
114	113	ex 415	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → ((0g‘𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)𝑦)))
115	114	expr 459	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐵 → ((0g‘𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)𝑦))))
116	40, 115	ralrimi 3214	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((0g‘𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)𝑦)))
117	116	ralrimiva 3180	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((0g‘𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)𝑦)))
118	117	ex 415	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ oField → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((0g‘𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)𝑦))))
119	35, 118	impbid 214	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ oField → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((0g‘𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)))
120	9, 119	bitrd 281	1 ⊢ (𝑊 ∈ oField → (𝑊 ∈ Archi ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1531   ∈ wcel 2108   ≠ wne 3014  ∀wral 3136  ∃wrex 3137   class class class wbr 5057  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148  ℕcn 11630  ℤcz 11973  Basecbs 16475  ._rcmulr 16558  0_gc0g 16705  ltcplt 17543  Grpcgrp 18095  ._gcmg 18216  1_rcur 19243  Ringcrg 19289  CRingccrg 19290  Unitcui 19381  /_rcdvr 19424  DivRingcdr 19494  Fieldcfield 19495  ℤRHomczrh 20639  oGrpcogrp 30692  Archicarchi 30799  oRingcorng 30861  oFieldcofld 30862

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-addf 10608  ax-mulf 10609

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-tpos 7884  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12885  df-seq 13362  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-0g 16707  df-proset 17530  df-poset 17548  df-plt 17560  df-toset 17636  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-mhm 17948  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-mulg 18217  df-subg 18268  df-ghm 18348  df-cmn 18900  df-mgp 19232  df-ur 19244  df-ring 19291  df-cring 19292  df-oppr 19365  df-dvdsr 19383  df-unit 19384  df-invr 19414  df-dvr 19425  df-rnghom 19459  df-drng 19496  df-field 19497  df-subrg 19525  df-cnfld 20538  df-zring 20610  df-zrh 20643  df-omnd 30693  df-ogrp 30694  df-inftm 30800  df-archi 30801  df-orng 30863  df-ofld 30864

This theorem is referenced by:  rearchi  30908