Theorem isat2 36427

Description: The predicate "is an atom". (elatcv0 30121 analog.) (Contributed by NM, 18-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
isatom.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
isatom.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
isatom.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
isatom.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
isat2	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ 0 𝐶𝑃))

Proof of Theorem isat2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isatom.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		isatom.z	. . 3 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
3		isatom.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
4		isatom.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	isat 36426	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐷 → (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ (𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 0 𝐶𝑃)))
6	5	baibd 542	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ 0 𝐶𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5069  ‘cfv 6358  Basecbs 16486  0.cp0 17650   ⋖ ccvr 36402  Atomscatm 36403

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pr 5333

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ral 3146  df-rex 3147  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4471  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4842  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-id 5463  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fv 6366  df-ats 36407

This theorem is referenced by:  llncvrlpln  36698  lplncvrlvol  36756  lhpm0atN  37169