Theorem isbasisrelowl 32830

Description: The set of all closed-below, open-above intervals of reals form a basis. (Contributed by ML, 27-Jul-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
isbasisrelowl.1	⊢ 𝐼 = ([,) “ (ℝ × ℝ))

Assertion

Ref	Expression
isbasisrelowl	⊢ 𝐼 ∈ TopBases

Proof of Theorem isbasisrelowl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isbasisrelowl.1	. . 3 ⊢ 𝐼 = ([,) “ (ℝ × ℝ))
2		df-ico 12120	. . . . 5 ⊢ [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
3	2	ixxex 12125	. . . 4 ⊢ [,) ∈ V
4		imaexg 7051	. . . 4 ⊢ ([,) ∈ V → ([,) “ (ℝ × ℝ)) ∈ V)
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ([,) “ (ℝ × ℝ)) ∈ V
6	1, 5	eqeltri 2700	. 2 ⊢ 𝐼 ∈ V
7	1	icoreclin 32829	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝐼)
8	7	rgen2a 2976	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝐼
9		fiinbas 20662	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ TopBases)
10	6, 8, 9	mp2an 707	1 ⊢ 𝐼 ∈ TopBases

Syntax hints:   = wceq 1480   ∈ wcel 1992  ∀wral 2912  Vcvv 3191   ∩ cin 3559   × cxp 5077   “ cima 5082  ℝcr 9880   < clt 10019   ≤ cle 10020  [,)cico 12116  TopBasesctb 20615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-ico 12120  df-bases 20617

This theorem is referenced by:  istoprelowl  32832