MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isblo3i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isblo3i 26846
Description: The predicate "is a bounded linear operator." Definition 2.7-1 of [Kreyszig] p. 91. (Contributed by NM, 11-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
isblo3i.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
isblo3i.m 𝑀 = (normCV𝑈)
isblo3i.n 𝑁 = (normCV𝑊)
isblo3i.4 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
isblo3i.5 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
isblo3i.u 𝑈 ∈ NrmCVec
isblo3i.w 𝑊 ∈ NrmCVec
Assertion
Ref Expression
isblo3i (𝑇𝐵 ↔ (𝑇𝐿 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑋 (𝑁‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀𝑦))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐿   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑊,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hint:   𝐿(𝑦)

Proof of Theorem isblo3i
StepHypRef Expression
1 isblo3i.u . . . 4 𝑈 ∈ NrmCVec
2 isblo3i.w . . . 4 𝑊 ∈ NrmCVec
3 isblo3i.4 . . . . 5 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
4 isblo3i.5 . . . . 5 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
53, 4bloln 26829 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐵) → 𝑇𝐿)
61, 2, 5mp3an12 1405 . . 3 (𝑇𝐵𝑇𝐿)
7 isblo3i.1 . . . . . 6 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
8 eqid 2609 . . . . . 6 (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
9 eqid 2609 . . . . . 6 (𝑈 normOpOLD 𝑊) = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
107, 8, 9, 4nmblore 26831 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐵) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ)
111, 2, 10mp3an12 1405 . . . 4 (𝑇𝐵 → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ)
12 isblo3i.m . . . . . 6 𝑀 = (normCV𝑈)
13 isblo3i.n . . . . . 6 𝑁 = (normCV𝑊)
147, 12, 13, 9, 4, 1, 2nmblolbi 26845 . . . . 5 ((𝑇𝐵𝑦𝑋) → (𝑁‘(𝑇𝑦)) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑀𝑦)))
1514ralrimiva 2948 . . . 4 (𝑇𝐵 → ∀𝑦𝑋 (𝑁‘(𝑇𝑦)) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑀𝑦)))
16 oveq1 6534 . . . . . . 7 (𝑥 = ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) → (𝑥 · (𝑀𝑦)) = (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑀𝑦)))
1716breq2d 4589 . . . . . 6 (𝑥 = ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) → ((𝑁‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀𝑦)) ↔ (𝑁‘(𝑇𝑦)) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑀𝑦))))
1817ralbidv 2968 . . . . 5 (𝑥 = ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) → (∀𝑦𝑋 (𝑁‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀𝑦)) ↔ ∀𝑦𝑋 (𝑁‘(𝑇𝑦)) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑀𝑦))))
1918rspcev 3281 . . . 4 ((((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝑋 (𝑁‘(𝑇𝑦)) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑀𝑦))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑋 (𝑁‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀𝑦)))
2011, 15, 19syl2anc 690 . . 3 (𝑇𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑋 (𝑁‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀𝑦)))
216, 20jca 552 . 2 (𝑇𝐵 → (𝑇𝐿 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑋 (𝑁‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀𝑦))))
22 simp1 1053 . . . . 5 ((𝑇𝐿𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝑋 (𝑁‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀𝑦))) → 𝑇𝐿)
237, 8, 3lnof 26800 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
241, 2, 23mp3an12 1405 . . . . . 6 (𝑇𝐿𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
257, 8, 9nmoxr 26811 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊)) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ*)
261, 2, 25mp3an12 1405 . . . . . . . 8 (𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ*)
27263ad2ant1 1074 . . . . . . 7 ((𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝑋 (𝑁‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀𝑦))) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ*)
28 recn 9882 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
2928abscld 13969 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
3029rexrd 9945 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ*)
31303ad2ant2 1075 . . . . . . 7 ((𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝑋 (𝑁‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀𝑦))) → (abs‘𝑥) ∈ ℝ*)
32 pnfxr 11781 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
3332a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝑋 (𝑁‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀𝑦))) → +∞ ∈ ℝ*)
347, 8, 12, 13, 9, 1, 2nmoub3i 26818 . . . . . . 7 ((𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝑋 (𝑁‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀𝑦))) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ≤ (abs‘𝑥))
35 ltpnf 11791 . . . . . . . . 9 ((abs‘𝑥) ∈ ℝ → (abs‘𝑥) < +∞)
3629, 35syl 17 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (abs‘𝑥) < +∞)
37363ad2ant2 1075 . . . . . . 7 ((𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝑋 (𝑁‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀𝑦))) → (abs‘𝑥) < +∞)
3827, 31, 33, 34, 37xrlelttrd 11826 . . . . . 6 ((𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝑋 (𝑁‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀𝑦))) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) < +∞)
3924, 38syl3an1 1350 . . . . 5 ((𝑇𝐿𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝑋 (𝑁‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀𝑦))) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) < +∞)
409, 3, 4isblo 26827 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑇𝐵 ↔ (𝑇𝐿 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) < +∞)))
411, 2, 40mp2an 703 . . . . 5 (𝑇𝐵 ↔ (𝑇𝐿 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) < +∞))
4222, 39, 41sylanbrc 694 . . . 4 ((𝑇𝐿𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝑋 (𝑁‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀𝑦))) → 𝑇𝐵)
4342rexlimdv3a 3014 . . 3 (𝑇𝐿 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑋 (𝑁‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀𝑦)) → 𝑇𝐵))
4443imp 443 . 2 ((𝑇𝐿 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑋 (𝑁‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀𝑦))) → 𝑇𝐵)
4521, 44impbii 197 1 (𝑇𝐵 ↔ (𝑇𝐿 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑋 (𝑁‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀𝑦))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wral 2895  wrex 2896   class class class wbr 4577  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  cr 9791   · cmul 9797  +∞cpnf 9927  *cxr 9929   < clt 9930  cle 9931  abscabs 13768  NrmCVeccnv 26607  BaseSetcba 26609  normCVcnmcv 26613   LnOp clno 26785   normOpOLD cnmoo 26786   BLnOp cblo 26787
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-map 7723  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-sup 8208  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-rp 11665  df-seq 12619  df-exp 12678  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-grpo 26497  df-gid 26498  df-ginv 26499  df-ablo 26552  df-vc 26567  df-nv 26615  df-va 26618  df-ba 26619  df-sm 26620  df-0v 26621  df-nmcv 26623  df-lno 26789  df-nmoo 26790  df-blo 26791  df-0o 26792
This theorem is referenced by:  blo3i  26847  blocnilem  26849
  Copyright terms: Public domain W3C validator