MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isblo3i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isblo3i 27784
Description: The predicate "is a bounded linear operator." Definition 2.7-1 of [Kreyszig] p. 91. (Contributed by NM, 11-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
isblo3i.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
isblo3i.m 𝑀 = (normCV𝑈)
isblo3i.n 𝑁 = (normCV𝑊)
isblo3i.4 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
isblo3i.5 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
isblo3i.u 𝑈 ∈ NrmCVec
isblo3i.w 𝑊 ∈ NrmCVec
Assertion
Ref Expression
isblo3i (𝑇𝐵 ↔ (𝑇𝐿 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑋 (𝑁‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀𝑦))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐿   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑊,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hint:   𝐿(𝑦)

Proof of Theorem isblo3i
StepHypRef Expression
1 isblo3i.u . . . 4 𝑈 ∈ NrmCVec
2 isblo3i.w . . . 4 𝑊 ∈ NrmCVec
3 isblo3i.4 . . . . 5 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
4 isblo3i.5 . . . . 5 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
53, 4bloln 27767 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐵) → 𝑇𝐿)
61, 2, 5mp3an12 1454 . . 3 (𝑇𝐵𝑇𝐿)
7 isblo3i.1 . . . . . 6 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
8 eqid 2651 . . . . . 6 (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
9 eqid 2651 . . . . . 6 (𝑈 normOpOLD 𝑊) = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
107, 8, 9, 4nmblore 27769 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐵) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ)
111, 2, 10mp3an12 1454 . . . 4 (𝑇𝐵 → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ)
12 isblo3i.m . . . . . 6 𝑀 = (normCV𝑈)
13 isblo3i.n . . . . . 6 𝑁 = (normCV𝑊)
147, 12, 13, 9, 4, 1, 2nmblolbi 27783 . . . . 5 ((𝑇𝐵𝑦𝑋) → (𝑁‘(𝑇𝑦)) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑀𝑦)))
1514ralrimiva 2995 . . . 4 (𝑇𝐵 → ∀𝑦𝑋 (𝑁‘(𝑇𝑦)) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑀𝑦)))
16 oveq1 6697 . . . . . . 7 (𝑥 = ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) → (𝑥 · (𝑀𝑦)) = (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑀𝑦)))
1716breq2d 4697 . . . . . 6 (𝑥 = ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) → ((𝑁‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀𝑦)) ↔ (𝑁‘(𝑇𝑦)) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑀𝑦))))
1817ralbidv 3015 . . . . 5 (𝑥 = ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) → (∀𝑦𝑋 (𝑁‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀𝑦)) ↔ ∀𝑦𝑋 (𝑁‘(𝑇𝑦)) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑀𝑦))))
1918rspcev 3340 . . . 4 ((((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝑋 (𝑁‘(𝑇𝑦)) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑀𝑦))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑋 (𝑁‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀𝑦)))
2011, 15, 19syl2anc 694 . . 3 (𝑇𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑋 (𝑁‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀𝑦)))
216, 20jca 553 . 2 (𝑇𝐵 → (𝑇𝐿 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑋 (𝑁‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀𝑦))))
22 simp1 1081 . . . . 5 ((𝑇𝐿𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝑋 (𝑁‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀𝑦))) → 𝑇𝐿)
237, 8, 3lnof 27738 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
241, 2, 23mp3an12 1454 . . . . . 6 (𝑇𝐿𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
257, 8, 9nmoxr 27749 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊)) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ*)
261, 2, 25mp3an12 1454 . . . . . . . 8 (𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ*)
27263ad2ant1 1102 . . . . . . 7 ((𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝑋 (𝑁‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀𝑦))) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ*)
28 recn 10064 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
2928abscld 14219 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
3029rexrd 10127 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ*)
31303ad2ant2 1103 . . . . . . 7 ((𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝑋 (𝑁‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀𝑦))) → (abs‘𝑥) ∈ ℝ*)
32 pnfxr 10130 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
3332a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝑋 (𝑁‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀𝑦))) → +∞ ∈ ℝ*)
347, 8, 12, 13, 9, 1, 2nmoub3i 27756 . . . . . . 7 ((𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝑋 (𝑁‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀𝑦))) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ≤ (abs‘𝑥))
35 ltpnf 11992 . . . . . . . . 9 ((abs‘𝑥) ∈ ℝ → (abs‘𝑥) < +∞)
3629, 35syl 17 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (abs‘𝑥) < +∞)
37363ad2ant2 1103 . . . . . . 7 ((𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝑋 (𝑁‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀𝑦))) → (abs‘𝑥) < +∞)
3827, 31, 33, 34, 37xrlelttrd 12029 . . . . . 6 ((𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝑋 (𝑁‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀𝑦))) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) < +∞)
3924, 38syl3an1 1399 . . . . 5 ((𝑇𝐿𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝑋 (𝑁‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀𝑦))) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) < +∞)
409, 3, 4isblo 27765 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑇𝐵 ↔ (𝑇𝐿 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) < +∞)))
411, 2, 40mp2an 708 . . . . 5 (𝑇𝐵 ↔ (𝑇𝐿 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) < +∞))
4222, 39, 41sylanbrc 699 . . . 4 ((𝑇𝐿𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝑋 (𝑁‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀𝑦))) → 𝑇𝐵)
4342rexlimdv3a 3062 . . 3 (𝑇𝐿 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑋 (𝑁‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀𝑦)) → 𝑇𝐵))
4443imp 444 . 2 ((𝑇𝐿 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑋 (𝑁‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀𝑦))) → 𝑇𝐵)
4521, 44impbii 199 1 (𝑇𝐵 ↔ (𝑇𝐿 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑋 (𝑁‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀𝑦))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  wrex 2942   class class class wbr 4685  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cr 9973   · cmul 9979  +∞cpnf 10109  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  abscabs 14018  NrmCVeccnv 27567  BaseSetcba 27569  normCVcnmcv 27573   LnOp clno 27723   normOpOLD cnmoo 27724   BLnOp cblo 27725
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-grpo 27475  df-gid 27476  df-ginv 27477  df-ablo 27527  df-vc 27542  df-nv 27575  df-va 27578  df-ba 27579  df-sm 27580  df-0v 27581  df-nmcv 27583  df-lno 27727  df-nmoo 27728  df-blo 27729  df-0o 27730
This theorem is referenced by:  blo3i  27785  blocnilem  27787
  Copyright terms: Public domain W3C validator