Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isbndx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isbndx 33213
 Description: A "bounded extended metric" (meaning that it satisfies the same condition as a bounded metric, but with "metric" replaced with "extended metric") is a metric and thus is bounded in the conventional sense. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
isbndx (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑟,𝑀   𝑋,𝑟,𝑥

Proof of Theorem isbndx
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isbnd 33211 . 2 (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)))
2 metxmet 22049 . . . 4 (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
3 simpr 477 . . . . . 6 ((∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ∧ 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋)) → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
4 xmetf 22044 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
5 ffn 6002 . . . . . . . 8 (𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*𝑀 Fn (𝑋 × 𝑋))
63, 4, 53syl 18 . . . . . . 7 ((∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ∧ 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋)) → 𝑀 Fn (𝑋 × 𝑋))
7 simprr 795 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))) → 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))
8 rpxr 11784 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ*)
9 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 “ ℝ) = (𝑀 “ ℝ)
109blssec 22150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ⊆ [𝑥](𝑀 “ ℝ))
11103expa 1262 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ⊆ [𝑥](𝑀 “ ℝ))
128, 11sylan2 491 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ⊆ [𝑥](𝑀 “ ℝ))
1312adantrr 752 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))) → (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ⊆ [𝑥](𝑀 “ ℝ))
147, 13eqsstrd 3618 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))) → 𝑋 ⊆ [𝑥](𝑀 “ ℝ))
1514sselda 3583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑦 ∈ [𝑥](𝑀 “ ℝ))
16 vex 3189 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦 ∈ V
17 vex 3189 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥 ∈ V
1816, 17elec 7731 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ [𝑥](𝑀 “ ℝ) ↔ 𝑥(𝑀 “ ℝ)𝑦)
1915, 18sylib 208 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑥(𝑀 “ ℝ)𝑦)
209xmeterval 22147 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥(𝑀 “ ℝ)𝑦 ↔ (𝑥𝑋𝑦𝑋 ∧ (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ)))
2120ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑥(𝑀 “ ℝ)𝑦 ↔ (𝑥𝑋𝑦𝑋 ∧ (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ)))
2219, 21mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑥𝑋𝑦𝑋 ∧ (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ))
2322simp3d 1073 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ)
2423ralrimiva 2960 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))) → ∀𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ)
2524rexlimdvaa 3025 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → ∀𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ))
2625ralimdva 2956 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → (∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ))
2726impcom 446 . . . . . . 7 ((∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ∧ 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋)) → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ)
28 ffnov 6717 . . . . . . 7 (𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ↔ (𝑀 Fn (𝑋 × 𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ))
296, 27, 28sylanbrc 697 . . . . . 6 ((∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ∧ 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋)) → 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
30 ismet2 22048 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ))
313, 29, 30sylanbrc 697 . . . . 5 ((∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ∧ 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋)) → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
3231ex 450 . . . 4 (∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋)))
332, 32impbid2 216 . . 3 (∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ↔ 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋)))
3433pm5.32ri 669 . 2 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)) ↔ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)))
351, 34bitri 264 1 (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∀wral 2907  ∃wrex 2908   ⊆ wss 3555   class class class wbr 4613   × cxp 5072  ◡ccnv 5073   “ cima 5077   Fn wfn 5842  ⟶wf 5843  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  [cec 7685  ℝcr 9879  ℝ*cxr 10017  ℝ+crp 11776  ∞Metcxmt 19650  Metcme 19651  ballcbl 19652  Bndcbnd 33198 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-er 7687  df-ec 7689  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-2 11023  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-bnd 33210 This theorem is referenced by:  isbnd2  33214  blbnd  33218  ismtybndlem  33237
 Copyright terms: Public domain W3C validator