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Theorem iscau3 22989
Description: Express the Cauchy sequence property in the more conventional three-quantifier form. (Contributed by NM, 19-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
iscau3.2 𝑍 = (ℤ𝑀)
iscau3.3 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
iscau3.4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
iscau3 (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑚,𝑥,𝐷   𝑗,𝐹,𝑘,𝑚,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥   𝑗,𝑋,𝑘,𝑚,𝑥   𝑗,𝑀   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝑀(𝑥,𝑘,𝑚)   𝑍(𝑚)

Proof of Theorem iscau3
StepHypRef Expression
1 iscau3.3 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2 iscau2 22988 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥))))
31, 2syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥))))
41adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
5 ssid 3605 . . . . . . 7 ℤ ⊆ ℤ
6 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)
7 eleq1 2686 . . . . . . 7 ((𝐹𝑘) = (𝐹𝑗) → ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ↔ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋))
8 eleq1 2686 . . . . . . 7 ((𝐹𝑘) = (𝐹𝑚) → ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ↔ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋))
9 xmetsym 22065 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) → ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘)) = ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)))
109fveq2d 6154 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) → ( I ‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘))) = ( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))))
11 xmetsym 22065 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗)) = ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚)))
1211fveq2d 6154 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋) → ( I ‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) = ( I ‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))))
13 simp1 1059 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
14 simp2l 1085 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)
15 simp3l 1087 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → (𝐹𝑗) ∈ 𝑋)
16 xmetcl 22049 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) ∈ ℝ*)
1713, 14, 15, 16syl3anc 1323 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) ∈ ℝ*)
18 simp2r 1086 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → (𝐹𝑚) ∈ 𝑋)
19 xmetcl 22049 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) → ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚)) ∈ ℝ*)
2013, 15, 18, 19syl3anc 1323 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚)) ∈ ℝ*)
21 simp3r 1088 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
2221rehalfcld 11226 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ)
2322rexrd 10036 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ*)
24 xlt2add 12036 . . . . . . . . . 10 (((((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) ∈ ℝ* ∧ ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚)) ∈ ℝ*) ∧ ((𝑥 / 2) ∈ ℝ* ∧ (𝑥 / 2) ∈ ℝ*)) → ((((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < (𝑥 / 2) ∧ ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚)) < (𝑥 / 2)) → (((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) +𝑒 ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < ((𝑥 / 2) +𝑒 (𝑥 / 2))))
2517, 20, 23, 23, 24syl22anc 1324 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → ((((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < (𝑥 / 2) ∧ ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚)) < (𝑥 / 2)) → (((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) +𝑒 ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < ((𝑥 / 2) +𝑒 (𝑥 / 2))))
26 rexadd 12009 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑥 / 2) ∈ ℝ) → ((𝑥 / 2) +𝑒 (𝑥 / 2)) = ((𝑥 / 2) + (𝑥 / 2)))
2722, 22, 26syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → ((𝑥 / 2) +𝑒 (𝑥 / 2)) = ((𝑥 / 2) + (𝑥 / 2)))
2821recnd 10015 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
29282halvesd 11225 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → ((𝑥 / 2) + (𝑥 / 2)) = 𝑥)
3027, 29eqtrd 2655 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → ((𝑥 / 2) +𝑒 (𝑥 / 2)) = 𝑥)
3130breq2d 4627 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → ((((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) +𝑒 ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < ((𝑥 / 2) +𝑒 (𝑥 / 2)) ↔ (((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) +𝑒 ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
32 xmettri 22069 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋)) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) ≤ (((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) +𝑒 ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))))
3313, 14, 18, 15, 32syl13anc 1325 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) ≤ (((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) +𝑒 ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))))
34 xmetcl 22049 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) ∈ ℝ*)
3513, 14, 18, 34syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) ∈ ℝ*)
3617, 20xaddcld 12077 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → (((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) +𝑒 ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) ∈ ℝ*)
3721rexrd 10036 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
38 xrlelttr 11934 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) ∈ ℝ* ∧ (((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) +𝑒 ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → ((((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) ≤ (((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) +𝑒 ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) ∧ (((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) +𝑒 ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
3935, 36, 37, 38syl3anc 1323 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → ((((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) ≤ (((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) +𝑒 ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) ∧ (((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) +𝑒 ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
4033, 39mpand 710 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → ((((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) +𝑒 ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥 → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
4131, 40sylbid 230 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → ((((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) +𝑒 ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < ((𝑥 / 2) +𝑒 (𝑥 / 2)) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
4225, 41syld 47 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → ((((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < (𝑥 / 2) ∧ ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚)) < (𝑥 / 2)) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
43 ovex 6635 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) ∈ V
44 fvi 6214 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) ∈ V → ( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) = ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)))
4543, 44ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) = ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))
4645breq1i 4622 . . . . . . . . 9 (( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) ↔ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < (𝑥 / 2))
47 ovex 6635 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚)) ∈ V
48 fvi 6214 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚)) ∈ V → ( I ‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) = ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚)))
4947, 48ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ( I ‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) = ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))
5049breq1i 4622 . . . . . . . . 9 (( I ‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < (𝑥 / 2) ↔ ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚)) < (𝑥 / 2))
5146, 50anbi12i 732 . . . . . . . 8 ((( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) ∧ ( I ‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < (𝑥 / 2)) ↔ (((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < (𝑥 / 2) ∧ ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚)) < (𝑥 / 2)))
52 ovex 6635 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) ∈ V
53 fvi 6214 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) ∈ V → ( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) = ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)))
5452, 53ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) = ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))
5554breq1i 4622 . . . . . . . 8 (( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥 ↔ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)
5642, 51, 553imtr4g 285 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → ((( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) ∧ ( I ‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < (𝑥 / 2)) → ( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
575, 6, 7, 8, 10, 12, 56cau3lem 14031 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥)))
584, 57syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥)))
5945breq1i 4622 . . . . . . . . . 10 (( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥 ↔ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥)
6059anbi2i 729 . . . . . . . . 9 (((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥))
61 df-3an 1038 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥) ↔ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥))
6260, 61bitr4i 267 . . . . . . . 8 (((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥))
6362ralbii 2974 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥))
6463rexbii 3034 . . . . . 6 (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥))
6564ralbii 2974 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥))
6655ralbii 2974 . . . . . . . . . 10 (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥 ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)
6766anbi2i 729 . . . . . . . . 9 (((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥) ↔ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
68 df-3an 1038 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ↔ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
6967, 68bitr4i 267 . . . . . . . 8 (((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
7069ralbii 2974 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
7170rexbii 3034 . . . . . 6 (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
7271ralbii 2974 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
7358, 65, 723bitr3g 302 . . . 4 ((𝜑𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)))
74 iscau3.4 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
7574adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ)) → 𝑀 ∈ ℤ)
76 iscau3.2 . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ𝑀)
7776rexuz3 14025 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)))
7875, 77syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ)) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)))
7978ralbidv 2980 . . . 4 ((𝜑𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)))
8073, 79bitr4d 271 . . 3 ((𝜑𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)))
8180pm5.32da 672 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥)) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))))
823, 81bitrd 268 1 (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  wrex 2908  Vcvv 3186   class class class wbr 4615   I cid 4986  dom cdm 5076  cfv 5849  (class class class)co 6607  pm cpm 7806  cc 9881  cr 9882   + caddc 9886  *cxr 10020   < clt 10021  cle 10022   / cdiv 10631  2c2 11017  cz 11324  cuz 11634  +crp 11779   +𝑒 cxad 11891  ∞Metcxmt 19653  Caucca 22964
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-op 4157  df-uni 4405  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-er 7690  df-map 7807  df-pm 7808  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-div 10632  df-2 11026  df-z 11325  df-uz 11635  df-rp 11780  df-xneg 11893  df-xadd 11894  df-psmet 19660  df-xmet 19661  df-bl 19663  df-cau 22967
This theorem is referenced by:  iscau4  22990  caucfil  22994  cmetcaulem  22999  heibor1lem  33261
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