Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  isch2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isch2 27926
 Description: Closed subspace 𝐻 of a Hilbert space. Definition of [Beran] p. 107. (Contributed by NM, 17-Aug-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
isch2 (𝐻C ↔ (𝐻S ∧ ∀𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑓,𝐻

Proof of Theorem isch2
StepHypRef Expression
1 isch 27925 . 2 (𝐻C ↔ (𝐻S ∧ ( ⇝𝑣 “ (𝐻𝑚 ℕ)) ⊆ 𝐻))
2 alcom 2034 . . . . 5 (∀𝑓𝑥((𝑓 ∈ (𝐻𝑚 ℕ) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ↔ ∀𝑥𝑓((𝑓 ∈ (𝐻𝑚 ℕ) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻))
3 19.23v 1899 . . . . . . . 8 (∀𝑓((𝑓 ∈ (𝐻𝑚 ℕ) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ↔ (∃𝑓(𝑓 ∈ (𝐻𝑚 ℕ) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻))
4 vex 3189 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ V
54elima2 5431 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ( ⇝𝑣 “ (𝐻𝑚 ℕ)) ↔ ∃𝑓(𝑓 ∈ (𝐻𝑚 ℕ) ∧ 𝑓𝑣 𝑥))
65imbi1i 339 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ( ⇝𝑣 “ (𝐻𝑚 ℕ)) → 𝑥𝐻) ↔ (∃𝑓(𝑓 ∈ (𝐻𝑚 ℕ) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻))
73, 6bitr4i 267 . . . . . . 7 (∀𝑓((𝑓 ∈ (𝐻𝑚 ℕ) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ↔ (𝑥 ∈ ( ⇝𝑣 “ (𝐻𝑚 ℕ)) → 𝑥𝐻))
87albii 1744 . . . . . 6 (∀𝑥𝑓((𝑓 ∈ (𝐻𝑚 ℕ) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ ( ⇝𝑣 “ (𝐻𝑚 ℕ)) → 𝑥𝐻))
9 dfss2 3572 . . . . . 6 (( ⇝𝑣 “ (𝐻𝑚 ℕ)) ⊆ 𝐻 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ ( ⇝𝑣 “ (𝐻𝑚 ℕ)) → 𝑥𝐻))
108, 9bitr4i 267 . . . . 5 (∀𝑥𝑓((𝑓 ∈ (𝐻𝑚 ℕ) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ↔ ( ⇝𝑣 “ (𝐻𝑚 ℕ)) ⊆ 𝐻)
112, 10bitri 264 . . . 4 (∀𝑓𝑥((𝑓 ∈ (𝐻𝑚 ℕ) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ↔ ( ⇝𝑣 “ (𝐻𝑚 ℕ)) ⊆ 𝐻)
12 nnex 10970 . . . . . . . 8 ℕ ∈ V
13 elmapg 7815 . . . . . . . 8 ((𝐻S ∧ ℕ ∈ V) → (𝑓 ∈ (𝐻𝑚 ℕ) ↔ 𝑓:ℕ⟶𝐻))
1412, 13mpan2 706 . . . . . . 7 (𝐻S → (𝑓 ∈ (𝐻𝑚 ℕ) ↔ 𝑓:ℕ⟶𝐻))
1514anbi1d 740 . . . . . 6 (𝐻S → ((𝑓 ∈ (𝐻𝑚 ℕ) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) ↔ (𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥)))
1615imbi1d 331 . . . . 5 (𝐻S → (((𝑓 ∈ (𝐻𝑚 ℕ) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ↔ ((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻)))
17162albidv 1848 . . . 4 (𝐻S → (∀𝑓𝑥((𝑓 ∈ (𝐻𝑚 ℕ) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ↔ ∀𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻)))
1811, 17syl5bbr 274 . . 3 (𝐻S → (( ⇝𝑣 “ (𝐻𝑚 ℕ)) ⊆ 𝐻 ↔ ∀𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻)))
1918pm5.32i 668 . 2 ((𝐻S ∧ ( ⇝𝑣 “ (𝐻𝑚 ℕ)) ⊆ 𝐻) ↔ (𝐻S ∧ ∀𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻)))
201, 19bitri 264 1 (𝐻C ↔ (𝐻S ∧ ∀𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384  ∀wal 1478  ∃wex 1701   ∈ wcel 1987  Vcvv 3186   ⊆ wss 3555   class class class wbr 4613   “ cima 5077  ⟶wf 5843  (class class class)co 6604   ↑𝑚 cmap 7802  ℕcn 10964   ⇝𝑣 chli 27630   Sℋ csh 27631   Cℋ cch 27632 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-map 7804  df-nn 10965  df-ch 27924 This theorem is referenced by:  chlimi  27937  isch3  27944  helch  27946  hsn0elch  27951  chintcli  28036  chscl  28346  nlelchi  28766  hmopidmchi  28856
 Copyright terms: Public domain W3C validator