HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  isch3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isch3 27276
Description: A Hilbert subspace is closed iff it is complete. A complete subspace is one in which every Cauchy sequence of vectors in the subspace converges to a member of the subspace (Definition of complete subspace in [Beran] p. 96). Remark 3.12 of [Beran] p. 107. (Contributed by NM, 24-Dec-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
isch3 (𝐻C ↔ (𝐻S ∧ ∀𝑓 ∈ Cauchy (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑓,𝐻

Proof of Theorem isch3
StepHypRef Expression
1 isch2 27258 . 2 (𝐻C ↔ (𝐻S ∧ ∀𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻)))
2 ax-hcompl 27237 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝑓𝑣 𝑥)
3 rexex 2985 . . . . . . . . . 10 (∃𝑥 ∈ ℋ 𝑓𝑣 𝑥 → ∃𝑥 𝑓𝑣 𝑥)
42, 3syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ Cauchy → ∃𝑥 𝑓𝑣 𝑥)
5 19.29 1789 . . . . . . . . 9 ((∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ∧ ∃𝑥 𝑓𝑣 𝑥) → ∃𝑥(((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ∧ 𝑓𝑣 𝑥))
64, 5sylan2 490 . . . . . . . 8 ((∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) → ∃𝑥(((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ∧ 𝑓𝑣 𝑥))
7 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) → ((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻))
87imp 444 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ∧ (𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥)) → 𝑥𝐻)
98an12s 839 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ (((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ∧ 𝑓𝑣 𝑥)) → 𝑥𝐻)
10 simprr 792 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ (((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ∧ 𝑓𝑣 𝑥)) → 𝑓𝑣 𝑥)
119, 10jca 553 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ (((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ∧ 𝑓𝑣 𝑥)) → (𝑥𝐻𝑓𝑣 𝑥))
1211ex 449 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ((((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → (𝑥𝐻𝑓𝑣 𝑥)))
1312eximdv 1833 . . . . . . . . . 10 (𝑓:ℕ⟶𝐻 → (∃𝑥(((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → ∃𝑥(𝑥𝐻𝑓𝑣 𝑥)))
1413com12 32 . . . . . . . . 9 (∃𝑥(((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥(𝑥𝐻𝑓𝑣 𝑥)))
15 df-rex 2902 . . . . . . . . 9 (∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥 ↔ ∃𝑥(𝑥𝐻𝑓𝑣 𝑥))
1614, 15syl6ibr 241 . . . . . . . 8 (∃𝑥(((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥))
176, 16syl 17 . . . . . . 7 ((∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥))
1817ex 449 . . . . . 6 (∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) → (𝑓 ∈ Cauchy → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥)))
19 nfv 1830 . . . . . . . 8 𝑥 𝑓 ∈ Cauchy
20 nfv 1830 . . . . . . . . 9 𝑥 𝑓:ℕ⟶𝐻
21 nfre1 2988 . . . . . . . . 9 𝑥𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥
2220, 21nfim 1813 . . . . . . . 8 𝑥(𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥)
2319, 22nfim 1813 . . . . . . 7 𝑥(𝑓 ∈ Cauchy → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥))
24 bi2.04 375 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ∈ Cauchy → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥)) ↔ (𝑓:ℕ⟶𝐻 → (𝑓 ∈ Cauchy → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥)))
25 hlimcaui 27271 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓𝑣 𝑥𝑓 ∈ Cauchy)
2625imim1i 61 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 ∈ Cauchy → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥) → (𝑓𝑣 𝑥 → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥))
27 rexex 2985 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥 → ∃𝑥 𝑓𝑣 𝑥)
28 hlimeui 27275 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑥 𝑓𝑣 𝑥 ↔ ∃!𝑥 𝑓𝑣 𝑥)
2927, 28sylib 207 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥 → ∃!𝑥 𝑓𝑣 𝑥)
30 exancom 1774 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑥(𝑥𝐻𝑓𝑣 𝑥) ↔ ∃𝑥(𝑓𝑣 𝑥𝑥𝐻))
3115, 30sylbb 208 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥 → ∃𝑥(𝑓𝑣 𝑥𝑥𝐻))
32 eupick 2524 . . . . . . . . . . . 12 ((∃!𝑥 𝑓𝑣 𝑥 ∧ ∃𝑥(𝑓𝑣 𝑥𝑥𝐻)) → (𝑓𝑣 𝑥𝑥𝐻))
3329, 31, 32syl2anc 691 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥 → (𝑓𝑣 𝑥𝑥𝐻))
3426, 33syli 38 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 ∈ Cauchy → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥) → (𝑓𝑣 𝑥𝑥𝐻))
3534imim2i 16 . . . . . . . . 9 ((𝑓:ℕ⟶𝐻 → (𝑓 ∈ Cauchy → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥)) → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → (𝑓𝑣 𝑥𝑥𝐻)))
3624, 35sylbi 206 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∈ Cauchy → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥)) → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → (𝑓𝑣 𝑥𝑥𝐻)))
3736impd 446 . . . . . . 7 ((𝑓 ∈ Cauchy → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥)) → ((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻))
3823, 37alrimi 2069 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ Cauchy → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥)) → ∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻))
3918, 38impbii 198 . . . . 5 (∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ↔ (𝑓 ∈ Cauchy → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥)))
4039albii 1737 . . . 4 (∀𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ↔ ∀𝑓(𝑓 ∈ Cauchy → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥)))
41 df-ral 2901 . . . 4 (∀𝑓 ∈ Cauchy (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥) ↔ ∀𝑓(𝑓 ∈ Cauchy → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥)))
4240, 41bitr4i 266 . . 3 (∀𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ↔ ∀𝑓 ∈ Cauchy (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥))
4342anbi2i 726 . 2 ((𝐻S ∧ ∀𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻)) ↔ (𝐻S ∧ ∀𝑓 ∈ Cauchy (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥)))
441, 43bitri 263 1 (𝐻C ↔ (𝐻S ∧ ∀𝑓 ∈ Cauchy (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383  wal 1473  wex 1695  wcel 1977  ∃!weu 2458  wral 2896  wrex 2897   class class class wbr 4578  wf 5786  cn 10870  chil 26954  Cauchyccau 26961  𝑣 chli 26962   S csh 26963   C cch 26964
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4694  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-pre-sup 9871  ax-addf 9872  ax-mulf 9873  ax-hilex 27034  ax-hfvadd 27035  ax-hvcom 27036  ax-hvass 27037  ax-hv0cl 27038  ax-hvaddid 27039  ax-hfvmul 27040  ax-hvmulid 27041  ax-hvmulass 27042  ax-hvdistr1 27043  ax-hvdistr2 27044  ax-hvmul0 27045  ax-hfi 27114  ax-his1 27117  ax-his2 27118  ax-his3 27119  ax-his4 27120  ax-hcompl 27237
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4368  df-iun 4452  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-tr 4676  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-er 7607  df-map 7724  df-pm 7725  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-sup 8209  df-inf 8210  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-4 10931  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523  df-q 11624  df-rp 11668  df-xneg 11781  df-xadd 11782  df-xmul 11783  df-icc 12012  df-seq 12622  df-exp 12681  df-cj 13636  df-re 13637  df-im 13638  df-sqrt 13772  df-abs 13773  df-topgen 15876  df-psmet 19508  df-xmet 19509  df-met 19510  df-bl 19511  df-mopn 19512  df-top 20469  df-bases 20470  df-topon 20471  df-lm 20791  df-haus 20877  df-cau 22807  df-grpo 26525  df-gid 26526  df-ginv 26527  df-gdiv 26528  df-ablo 26577  df-vc 26592  df-nv 26625  df-va 26628  df-ba 26629  df-sm 26630  df-0v 26631  df-vs 26632  df-nmcv 26633  df-ims 26634  df-hnorm 27003  df-hvsub 27006  df-hlim 27007  df-hcau 27008  df-ch 27256
This theorem is referenced by:  chcompl  27277  occl  27341
  Copyright terms: Public domain W3C validator