Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isclwwlksng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isclwwlksng 26772
 Description: Properties of a word to represent a closed walk of a fixed length. Generalization of isclwwlksn 26766. (Contributed by AV, 25-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
isclwwlksng (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = 𝑁))

Proof of Theorem isclwwlksng
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . . . 4 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
21clwwlknbp0 26768 . . 3 (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = 𝑁)))
32simplrd 792 . 2 (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → 𝑁 ∈ ℕ)
41clwwlkbp 26767 . . . . 5 (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅))
5 lennncl 13272 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (#‘𝑊) ∈ ℕ)
653adant1 1077 . . . . 5 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (#‘𝑊) ∈ ℕ)
74, 6syl 17 . . . 4 (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → (#‘𝑊) ∈ ℕ)
87adantr 481 . . 3 ((𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = 𝑁) → (#‘𝑊) ∈ ℕ)
9 eleq1 2686 . . . . 5 (𝑁 = (#‘𝑊) → (𝑁 ∈ ℕ ↔ (#‘𝑊) ∈ ℕ))
109eqcoms 2629 . . . 4 ((#‘𝑊) = 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ ↔ (#‘𝑊) ∈ ℕ))
1110adantl 482 . . 3 ((𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = 𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ ↔ (#‘𝑊) ∈ ℕ))
128, 11mpbird 247 . 2 ((𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
13 isclwwlksn 26766 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = 𝑁)))
143, 12, 13pm5.21nii 368 1 (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = 𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  Vcvv 3189  ∅c0 3896  ‘cfv 5852  (class class class)co 6610  ℕcn 10972  #chash 13065  Word cword 13238  Vtxcvtx 25791  ClWWalkscclwwlks 26759   ClWWalksN cclwwlksn 26760 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-card 8717  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-hash 13066  df-word 13246  df-clwwlks 26761  df-clwwlksn 26762 This theorem is referenced by:  isclwwlksnx  26773
 Copyright terms: Public domain W3C validator