Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isclwwlksnx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isclwwlksnx 26756
 Description: Properties of a word to represent a closed walk of a fixed length , definition of ClWWalks expanded. (Contributed by AV, 25-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
isclwwlksnx.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
isclwwlksnx.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
isclwwlksnx (𝑁 ∈ ℕ → (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (#‘𝑊) = 𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐺   𝑖,𝑊
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑖)   𝑁(𝑖)   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem isclwwlksnx
StepHypRef Expression
1 eleq1 2686 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 = (#‘𝑊) → (𝑁 ∈ ℕ ↔ (#‘𝑊) ∈ ℕ))
21eqcoms 2629 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝑊) = 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ ↔ (#‘𝑊) ∈ ℕ))
3 elnnne0 11250 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝑊) ∈ ℕ ↔ ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ≠ 0))
4 hasheq0 13094 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑊) = 0 ↔ 𝑊 = ∅))
54necon3bid 2834 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑊) ≠ 0 ↔ 𝑊 ≠ ∅))
65biimpcd 239 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝑊) ≠ 0 → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅))
73, 6simplbiim 658 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝑊) ∈ ℕ → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅))
82, 7syl6bi 243 . . . . . . . . 9 ((#‘𝑊) = 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅)))
98impcom 446 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑊) = 𝑁) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅))
109imp 445 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑊) = 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → 𝑊 ≠ ∅)
1110biantrurd 529 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑊) = 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ↔ (𝑊 ≠ ∅ ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))))
1211bicomd 213 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑊) = 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → ((𝑊 ≠ ∅ ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)))
1312pm5.32da 672 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑊) = 𝑁) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))))
1413ex 450 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((#‘𝑊) = 𝑁 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)))))
1514pm5.32rd 671 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))) ∧ (#‘𝑊) = 𝑁) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ (#‘𝑊) = 𝑁)))
16 isclwwlksng 26755 . . 3 (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = 𝑁))
17 isclwwlksnx.v . . . . . 6 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
18 isclwwlksnx.e . . . . . 6 𝐸 = (Edg‘𝐺)
1917, 18isclwwlks 26747 . . . . 5 (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))
20 3anass 1040 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)))
21 anass 680 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))))
2220, 21bitri 264 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))))
2319, 22bitri 264 . . . 4 (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))))
2423anbi1i 730 . . 3 ((𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = 𝑁) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))) ∧ (#‘𝑊) = 𝑁))
2516, 24bitri 264 . 2 (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))) ∧ (#‘𝑊) = 𝑁))
26 3anass 1040 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)))
2726anbi1i 730 . 2 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (#‘𝑊) = 𝑁) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ (#‘𝑊) = 𝑁))
2815, 25, 273bitr4g 303 1 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (#‘𝑊) = 𝑁)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ∀wral 2907  ∅c0 3891  {cpr 4150  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   − cmin 10210  ℕcn 10964  ℕ0cn0 11236  ..^cfzo 12406  #chash 13057  Word cword 13230   lastS clsw 13231  Vtxcvtx 25774  Edgcedg 25839  ClWWalkscclwwlks 26742   ClWWalksN cclwwlksn 26743 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-hash 13058  df-word 13238  df-clwwlks 26744  df-clwwlksn 26745 This theorem is referenced by:  clwwlksn2  26776  clwwlksf  26781  clwwlksext2edg  26789  wwlksext2clwwlk  26790  numclwwlkovfel2  27072  numclwwlkovf2ex  27075
 Copyright terms: Public domain W3C validator