MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscmet3lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iscmet3lem1 23135
Description: Lemma for iscmet3 23137. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iscmet3.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
iscmet3.2 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
iscmet3.3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
iscmet3.4 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
iscmet3.6 (𝜑𝐹:𝑍𝑋)
iscmet3.9 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑆𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑆𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘))
iscmet3.10 (𝜑 → ∀𝑘𝑍𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐹𝑘) ∈ (𝑆𝑛))
Assertion
Ref Expression
iscmet3lem1 (𝜑𝐹 ∈ (Cau‘𝐷))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝑢,𝑣,𝐷   𝑘,𝐹,𝑛,𝑢,𝑣   𝑘,𝑋,𝑛   𝑘,𝐽,𝑛   𝑆,𝑘,𝑛,𝑢,𝑣   𝑘,𝑍,𝑛   𝑘,𝑀,𝑛   𝜑,𝑘,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑢)   𝐽(𝑣,𝑢)   𝑀(𝑣,𝑢)   𝑋(𝑣,𝑢)   𝑍(𝑣,𝑢)

Proof of Theorem iscmet3lem1
Dummy variables 𝑗 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscmet3.3 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2 iscmet3.1 . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ𝑀)
32iscmet3lem3 23134 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((1 / 2)↑𝑘) < 𝑟)
41, 3sylan 487 . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((1 / 2)↑𝑘) < 𝑟)
52r19.2uz 14135 . . . . 5 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((1 / 2)↑𝑘) < 𝑟 → ∃𝑘𝑍 ((1 / 2)↑𝑘) < 𝑟)
64, 5syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑘𝑍 ((1 / 2)↑𝑘) < 𝑟)
7 simpl 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)) → 𝑘𝑍)
87adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘))) → 𝑘𝑍)
98, 2syl6eleq 2740 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘))) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
10 eluzfz2 12387 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑘))
119, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘))) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑘))
12 iscmet3.10 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑘𝑍𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐹𝑘) ∈ (𝑆𝑛))
1312ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘))) → ∀𝑘𝑍𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐹𝑘) ∈ (𝑆𝑛))
14 rsp 2958 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑘𝑍𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐹𝑘) ∈ (𝑆𝑛) → (𝑘𝑍 → ∀𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐹𝑘) ∈ (𝑆𝑛)))
1513, 8, 14sylc 65 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘))) → ∀𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐹𝑘) ∈ (𝑆𝑛))
16 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → (𝑆𝑛) = (𝑆𝑘))
1716eleq2d 2716 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐹𝑘) ∈ (𝑆𝑛) ↔ (𝐹𝑘) ∈ (𝑆𝑘)))
1817rspcv 3336 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑘) → (∀𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐹𝑘) ∈ (𝑆𝑛) → (𝐹𝑘) ∈ (𝑆𝑘)))
1911, 15, 18sylc 65 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘))) → (𝐹𝑘) ∈ (𝑆𝑘))
20 simprr 811 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘))) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑘))
21 elfzuzb 12374 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑘)))
229, 20, 21sylanbrc 699 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘))) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗))
232uztrn2 11743 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)) → 𝑗𝑍)
2423adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘))) → 𝑗𝑍)
25 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗 → (𝑀...𝑘) = (𝑀...𝑗))
26 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑗 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑗))
2726eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹𝑘) ∈ (𝑆𝑛) ↔ (𝐹𝑗) ∈ (𝑆𝑛)))
2825, 27raleqbidv 3182 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → (∀𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐹𝑘) ∈ (𝑆𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑗) ∈ (𝑆𝑛)))
2928rspcv 3336 . . . . . . . . . . 11 (𝑗𝑍 → (∀𝑘𝑍𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐹𝑘) ∈ (𝑆𝑛) → ∀𝑛 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑗) ∈ (𝑆𝑛)))
3024, 13, 29sylc 65 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘))) → ∀𝑛 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑗) ∈ (𝑆𝑛))
3116eleq2d 2716 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐹𝑗) ∈ (𝑆𝑛) ↔ (𝐹𝑗) ∈ (𝑆𝑘)))
3231rspcv 3336 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) → (∀𝑛 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑗) ∈ (𝑆𝑛) → (𝐹𝑗) ∈ (𝑆𝑘)))
3322, 30, 32sylc 65 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘))) → (𝐹𝑗) ∈ (𝑆𝑘))
34 iscmet3.9 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑆𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑆𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘))
3534ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘))) → ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑆𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑆𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘))
36 eluzelz 11735 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
3736, 2eleq2s 2748 . . . . . . . . . . 11 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℤ)
3837ad2antrl 764 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘))) → 𝑘 ∈ ℤ)
39 rsp 2958 . . . . . . . . . 10 (∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑆𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑆𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘) → (𝑘 ∈ ℤ → ∀𝑢 ∈ (𝑆𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑆𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))
4035, 38, 39sylc 65 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘))) → ∀𝑢 ∈ (𝑆𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑆𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘))
41 oveq1 6697 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = (𝐹𝑘) → (𝑢𝐷𝑣) = ((𝐹𝑘)𝐷𝑣))
4241breq1d 4695 . . . . . . . . . 10 (𝑢 = (𝐹𝑘) → ((𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘) ↔ ((𝐹𝑘)𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))
43 oveq2 6698 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = (𝐹𝑗) → ((𝐹𝑘)𝐷𝑣) = ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)))
4443breq1d 4695 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = (𝐹𝑗) → (((𝐹𝑘)𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘) ↔ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < ((1 / 2)↑𝑘)))
4542, 44rspc2va 3354 . . . . . . . . 9 ((((𝐹𝑘) ∈ (𝑆𝑘) ∧ (𝐹𝑗) ∈ (𝑆𝑘)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑆𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑆𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < ((1 / 2)↑𝑘))
4619, 33, 40, 45syl21anc 1365 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘))) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < ((1 / 2)↑𝑘))
47 iscmet3.4 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
4847ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘))) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
49 iscmet3.6 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹:𝑍𝑋)
5049adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐹:𝑍𝑋)
51 ffvelrn 6397 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝑍𝑋𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)
5250, 7, 51syl2an 493 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘))) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)
53 ffvelrn 6397 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝑍𝑋𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) ∈ 𝑋)
5450, 23, 53syl2an 493 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘))) → (𝐹𝑗) ∈ 𝑋)
55 metcl 22184 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) ∈ ℝ)
5648, 52, 54, 55syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘))) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) ∈ ℝ)
57 1rp 11874 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ+
58 rphalfcl 11896 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ ℝ+ → (1 / 2) ∈ ℝ+)
5957, 58ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (1 / 2) ∈ ℝ+
60 rpexpcl 12919 . . . . . . . . . . 11 (((1 / 2) ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℤ) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ+)
6159, 38, 60sylancr 696 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘))) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ+)
6261rpred 11910 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘))) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ)
63 rpre 11877 . . . . . . . . . 10 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ)
6463ad2antlr 763 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘))) → 𝑟 ∈ ℝ)
65 lttr 10152 . . . . . . . . 9 ((((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) ∈ ℝ ∧ ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < ((1 / 2)↑𝑘) ∧ ((1 / 2)↑𝑘) < 𝑟) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑟))
6656, 62, 64, 65syl3anc 1366 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘))) → ((((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < ((1 / 2)↑𝑘) ∧ ((1 / 2)↑𝑘) < 𝑟) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑟))
6746, 66mpand 711 . . . . . . 7 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘))) → (((1 / 2)↑𝑘) < 𝑟 → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑟))
6867anassrs 681 . . . . . 6 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑘)) → (((1 / 2)↑𝑘) < 𝑟 → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑟))
6968ralrimdva 2998 . . . . 5 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (((1 / 2)↑𝑘) < 𝑟 → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑟))
7069reximdva 3046 . . . 4 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (∃𝑘𝑍 ((1 / 2)↑𝑘) < 𝑟 → ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑟))
716, 70mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑟)
7271ralrimiva 2995 . 2 (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑟)
73 metxmet 22186 . . . 4 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
7447, 73syl 17 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
75 eqidd 2652 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) = (𝐹𝑗))
76 eqidd 2652 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
772, 74, 1, 75, 76, 49iscauf 23124 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑟))
7872, 77mpbird 247 1 (𝜑𝐹 ∈ (Cau‘𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  wrex 2942   class class class wbr 4685  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cr 9973  1c1 9975   < clt 10112   / cdiv 10722  2c2 11108  cz 11415  cuz 11725  +crp 11870  ...cfz 12364  cexp 12900  ∞Metcxmt 19779  Metcme 19780  MetOpencmopn 19784  Caucca 23097
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-fz 12365  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-cau 23100
This theorem is referenced by:  iscmet3  23137
  Copyright terms: Public domain W3C validator