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Theorem iscmet3lem2 22998
Description: Lemma for iscmet3 22999. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iscmet3.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
iscmet3.2 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
iscmet3.3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
iscmet3.4 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
iscmet3.6 (𝜑𝐹:𝑍𝑋)
iscmet3.9 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑆𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑆𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘))
iscmet3.10 (𝜑 → ∀𝑘𝑍𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐹𝑘) ∈ (𝑆𝑛))
iscmet3.7 (𝜑𝐺 ∈ (Fil‘𝑋))
iscmet3.8 (𝜑𝑆:ℤ⟶𝐺)
iscmet3.5 (𝜑𝐹 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))
Assertion
Ref Expression
iscmet3lem2 (𝜑 → (𝐽 fLim 𝐺) ≠ ∅)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝑢,𝑣,𝐷   𝑘,𝐺   𝑘,𝐹,𝑛,𝑢,𝑣   𝑘,𝑋,𝑛   𝑘,𝐽,𝑛   𝑆,𝑘,𝑛,𝑢,𝑣   𝑘,𝑍,𝑛   𝑘,𝑀,𝑛   𝜑,𝑘,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑢)   𝐺(𝑣,𝑢,𝑛)   𝐽(𝑣,𝑢)   𝑀(𝑣,𝑢)   𝑋(𝑣,𝑢)   𝑍(𝑣,𝑢)

Proof of Theorem iscmet3lem2
Dummy variables 𝑗 𝑟 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscmet3.5 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))
2 eldmg 5279 . . . 4 (𝐹 ∈ dom (⇝𝑡𝐽) → (𝐹 ∈ dom (⇝𝑡𝐽) ↔ ∃𝑥 𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥))
32ibi 256 . . 3 (𝐹 ∈ dom (⇝𝑡𝐽) → ∃𝑥 𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥)
41, 3syl 17 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥)
5 iscmet3.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
6 metxmet 22049 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
75, 6syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
8 iscmet3.2 . . . . . . 7 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
98mopntopon 22154 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
107, 9syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
11 lmcl 21011 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) → 𝑥𝑋)
1210, 11sylan 488 . . . 4 ((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) → 𝑥𝑋)
137adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
148mopni2 22208 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝐽𝑥𝑦) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦)
15143expia 1264 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝐽) → (𝑥𝑦 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦))
1613, 15sylan 488 . . . . . 6 (((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑦𝐽) → (𝑥𝑦 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦))
17 iscmet3.7 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 ∈ (Fil‘𝑋))
1817ad3antrrr 765 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑦𝐽) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦)) → 𝐺 ∈ (Fil‘𝑋))
19 iscmet3.3 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2019ad2antrr 761 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
21 rphalfcl 11802 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 ∈ ℝ+ → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
2221adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
23 iscmet3.1 . . . . . . . . . . . 12 𝑍 = (ℤ𝑀)
2423iscmet3lem3 22996 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑟 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2))
2520, 22, 24syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2))
2613adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2712adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑥𝑋)
28 blcntr 22128 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋 ∧ (𝑟 / 2) ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)))
2926, 27, 22, 28syl3anc 1323 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)))
30 simplr 791 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥)
3122rpxrd 11817 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ*)
328blopn 22215 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋 ∧ (𝑟 / 2) ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ∈ 𝐽)
3326, 27, 31, 32syl3anc 1323 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ∈ 𝐽)
3423, 29, 20, 30, 33lmcvg 20976 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)))
3523rexanuz2 14023 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))) ↔ (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))
3623r19.2uz 14025 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))) → ∃𝑘𝑍 (((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))
3717ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))) → 𝐺 ∈ (Fil‘𝑋))
38 iscmet3.8 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑆:ℤ⟶𝐺)
3938ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))) → 𝑆:ℤ⟶𝐺)
40 eluzelz 11641 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
4140, 23eleq2s 2716 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℤ)
4241ad2antrl 763 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))) → 𝑘 ∈ ℤ)
43 ffvelrn 6313 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆:ℤ⟶𝐺𝑘 ∈ ℤ) → (𝑆𝑘) ∈ 𝐺)
4439, 42, 43syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))) → (𝑆𝑘) ∈ 𝐺)
45 rpxr 11784 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ*)
4645adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℝ*)
47 blssm 22133 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑋)
4826, 27, 46, 47syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑋)
4948adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑋)
5041adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ ℤ)
51 1rp 11780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 ∈ ℝ+
52 rphalfcl 11802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (1 ∈ ℝ+ → (1 / 2) ∈ ℝ+)
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1 / 2) ∈ ℝ+
54 rpexpcl 12819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((1 / 2) ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℤ) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ+)
5553, 54mpan 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ ℤ → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ+)
5650, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ+)
5756rpred 11816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ)
5822adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
5958rpred 11816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ)
60 ltle 10070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝑟 / 2) ∈ ℝ) → (((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) → ((1 / 2)↑𝑘) ≤ (𝑟 / 2)))
6157, 59, 60syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) → ((1 / 2)↑𝑘) ≤ (𝑟 / 2)))
62 simpll 789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝜑)
63 eluzfz2 12291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑘))
6463, 23eleq2s 2716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑘𝑍𝑘 ∈ (𝑀...𝑘))
6564adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑘))
66 iscmet3.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → ∀𝑘𝑍𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐹𝑘) ∈ (𝑆𝑛))
6766r19.21bi 2927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑘𝑍) → ∀𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐹𝑘) ∈ (𝑆𝑛))
68 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑛 = 𝑘 → (𝑆𝑛) = (𝑆𝑘))
6968eleq2d 2684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐹𝑘) ∈ (𝑆𝑛) ↔ (𝐹𝑘) ∈ (𝑆𝑘)))
7069rspcv 3291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑘) → (∀𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐹𝑘) ∈ (𝑆𝑛) → (𝐹𝑘) ∈ (𝑆𝑘)))
7165, 67, 70sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ (𝑆𝑘))
7271adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆𝑘)) → (𝐹𝑘) ∈ (𝑆𝑘))
73 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆𝑘)) → 𝑦 ∈ (𝑆𝑘))
74 iscmet3.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑆𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑆𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘))
7574ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆𝑘)) → ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑆𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑆𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘))
7641ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆𝑘)) → 𝑘 ∈ ℤ)
77 rsp 2924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑆𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑆𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘) → (𝑘 ∈ ℤ → ∀𝑢 ∈ (𝑆𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑆𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))
7875, 76, 77sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆𝑘)) → ∀𝑢 ∈ (𝑆𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑆𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘))
79 oveq1 6611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑢 = (𝐹𝑘) → (𝑢𝐷𝑣) = ((𝐹𝑘)𝐷𝑣))
8079breq1d 4623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑢 = (𝐹𝑘) → ((𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘) ↔ ((𝐹𝑘)𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))
81 oveq2 6612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑣 = 𝑦 → ((𝐹𝑘)𝐷𝑣) = ((𝐹𝑘)𝐷𝑦))
8281breq1d 4623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑣 = 𝑦 → (((𝐹𝑘)𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘) ↔ ((𝐹𝑘)𝐷𝑦) < ((1 / 2)↑𝑘)))
8380, 82rspc2va 3307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐹𝑘) ∈ (𝑆𝑘) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆𝑘)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑆𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑆𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)) → ((𝐹𝑘)𝐷𝑦) < ((1 / 2)↑𝑘))
8472, 73, 78, 83syl21anc 1322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆𝑘)) → ((𝐹𝑘)𝐷𝑦) < ((1 / 2)↑𝑘))
857ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆𝑘)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
8641, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑘𝑍 → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ+)
8786rpxrd 11817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑘𝑍 → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ*)
8887ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆𝑘)) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ*)
89 iscmet3.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑𝐹:𝑍𝑋)
9089ffvelrnda 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)
9190adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆𝑘)) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)
9217adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐺 ∈ (Fil‘𝑋))
9338, 41, 43syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑆𝑘) ∈ 𝐺)
94 filelss 21566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐺 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑆𝑘) ∈ 𝐺) → (𝑆𝑘) ⊆ 𝑋)
9592, 93, 94syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑆𝑘) ⊆ 𝑋)
9695sselda 3583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆𝑘)) → 𝑦𝑋)
97 elbl2 22105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ*) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋𝑦𝑋)) → (𝑦 ∈ ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)((1 / 2)↑𝑘)) ↔ ((𝐹𝑘)𝐷𝑦) < ((1 / 2)↑𝑘)))
9885, 88, 91, 96, 97syl22anc 1324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆𝑘)) → (𝑦 ∈ ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)((1 / 2)↑𝑘)) ↔ ((𝐹𝑘)𝐷𝑦) < ((1 / 2)↑𝑘)))
9984, 98mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆𝑘)) → 𝑦 ∈ ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)((1 / 2)↑𝑘)))
10099ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑦 ∈ (𝑆𝑘) → 𝑦 ∈ ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)((1 / 2)↑𝑘))))
101100ssrdv 3589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑆𝑘) ⊆ ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)((1 / 2)↑𝑘)))
10262, 101sylan 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (𝑆𝑘) ⊆ ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)((1 / 2)↑𝑘)))
10326adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
10489ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐹:𝑍𝑋)
105104ffvelrnda 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)
10656rpxrd 11817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ*)
10731adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ*)
108 ssbl 22138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ (((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ* ∧ (𝑟 / 2) ∈ ℝ*) ∧ ((1 / 2)↑𝑘) ≤ (𝑟 / 2)) → ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)((1 / 2)↑𝑘)) ⊆ ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)))
1091083expia 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ (((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ* ∧ (𝑟 / 2) ∈ ℝ*)) → (((1 / 2)↑𝑘) ≤ (𝑟 / 2) → ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)((1 / 2)↑𝑘)) ⊆ ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))
110103, 105, 106, 107, 109syl22anc 1324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (((1 / 2)↑𝑘) ≤ (𝑟 / 2) → ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)((1 / 2)↑𝑘)) ⊆ ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))
111 sstr 3591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑆𝑘) ⊆ ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)((1 / 2)↑𝑘)) ∧ ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)((1 / 2)↑𝑘)) ⊆ ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))) → (𝑆𝑘) ⊆ ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)))
112102, 110, 111syl6an 567 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (((1 / 2)↑𝑘) ≤ (𝑟 / 2) → (𝑆𝑘) ⊆ ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))
11361, 112syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) → (𝑆𝑘) ⊆ ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))
114113adantrd 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → ((((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))) → (𝑆𝑘) ⊆ ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))
115114impr 648 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))) → (𝑆𝑘) ⊆ ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)))
11627adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → 𝑥𝑋)
117 blcom 22109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑟 / 2) ∈ ℝ*) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)) → ((𝐹𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))
118103, 107, 116, 105, 117syl22anc 1324 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))
119 rpre 11783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ)
120119ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → 𝑟 ∈ ℝ)
121 blhalf 22120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)))) → ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟))
122121expr 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) → ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟)))
123103, 105, 120, 122syl21anc 1322 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (𝑥 ∈ ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) → ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟)))
124118, 123sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) → ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟)))
125124adantld 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → ((((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))) → ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟)))
126125impr 648 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))) → ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟))
127115, 126sstrd 3593 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))) → (𝑆𝑘) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟))
128 filss 21567 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑆𝑘) ∈ 𝐺 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑆𝑘) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟))) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐺)
12937, 44, 49, 127, 128syl13anc 1325 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐺)
130129rexlimdvaa 3025 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∃𝑘𝑍 (((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐺))
13136, 130syl5 34 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐺))
13235, 131syl5bir 233 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐺))
13325, 34, 132mp2and 714 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐺)
134133ad2ant2r 782 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑦𝐽) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦)) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐺)
13510adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
136 toponss 20644 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑦𝐽) → 𝑦𝑋)
137135, 136sylan 488 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑦𝐽) → 𝑦𝑋)
138137adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑦𝐽) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦)) → 𝑦𝑋)
139 simprr 795 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑦𝐽) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦)) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦)
140 filss 21567 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐺𝑦𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦)) → 𝑦𝐺)
14118, 134, 138, 139, 140syl13anc 1325 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑦𝐽) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦)) → 𝑦𝐺)
142141rexlimdvaa 3025 . . . . . 6 (((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑦𝐽) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦𝑦𝐺))
14316, 142syld 47 . . . . 5 (((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑦𝐽) → (𝑥𝑦𝑦𝐺))
144143ralrimiva 2960 . . . 4 ((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) → ∀𝑦𝐽 (𝑥𝑦𝑦𝐺))
145 flimopn 21689 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐺 ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐺) ↔ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑦𝐽 (𝑥𝑦𝑦𝐺))))
14610, 17, 145syl2anc 692 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐺) ↔ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑦𝐽 (𝑥𝑦𝑦𝐺))))
147146adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) → (𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐺) ↔ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑦𝐽 (𝑥𝑦𝑦𝐺))))
14812, 144, 147mpbir2and 956 . . 3 ((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) → 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐺))
149 ne0i 3897 . . 3 (𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐺) → (𝐽 fLim 𝐺) ≠ ∅)
150148, 149syl 17 . 2 ((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) → (𝐽 fLim 𝐺) ≠ ∅)
1514, 150exlimddv 1860 1 (𝜑 → (𝐽 fLim 𝐺) ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  wrex 2908  wss 3555  c0 3891   class class class wbr 4613  dom cdm 5074  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  cr 9879  1c1 9881  *cxr 10017   < clt 10018  cle 10019   / cdiv 10628  2c2 11014  cz 11321  cuz 11631  +crp 11776  ...cfz 12268  cexp 12800  ∞Metcxmt 19650  Metcme 19651  ballcbl 19652  MetOpencmopn 19655  TopOnctopon 20618  𝑡clm 20940  Filcfil 21559   fLim cflim 21648
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-fz 12269  df-fl 12533  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-rlim 14154  df-topgen 16025  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-fbas 19662  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-ntr 20734  df-nei 20812  df-lm 20943  df-fil 21560  df-flim 21653
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