Theorem iscmet3lem3 23887

Description: Lemma for iscmet3 23890. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
iscmet3.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
iscmet3lem3	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((1 / 2)↑𝑘) < 𝑅)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑅   𝑗,𝑍,𝑘   𝑗,𝑀,𝑘

Proof of Theorem iscmet3lem3

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscmet3.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		simpl 485	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		simpr 487	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑅 ∈ ℝ+)
4		eluzelz 12247	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
5	4, 1	eleq2s 2931	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℤ)
6	5	adantl 484	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ ℤ)
7		oveq2 7158	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((1 / 2)↑𝑛) = ((1 / 2)↑𝑘))
8		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛))
9		ovex 7183	. . . . 5 ⊢ ((1 / 2)↑𝑘) ∈ V
10	7, 8, 9	fvmpt 6762	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘) = ((1 / 2)↑𝑘))
11	6, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘) = ((1 / 2)↑𝑘))
12		nn0uz 12274	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
13	12	reseq2i 5844	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ↾ ℕ0) = ((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ↾ (ℤ≥‘0))
14		nn0ssz 11997	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ
15		resmpt 5899	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ0 ⊆ ℤ → ((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ↾ ℕ0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ↾ ℕ0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))
17	13, 16	eqtr3i 2846	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ↾ (ℤ≥‘0)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))
18		halfcn 11846	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
19	18	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (1 / 2) ∈ ℂ)
20		halfre 11845	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
21		halfge0 11848	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ (1 / 2)
22		absid 14650	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 2)) → (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2))
23	20, 21, 22	mp2an 690	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2)
24		halflt1 11849	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 2) < 1
25	23, 24	eqbrtri 5079	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘(1 / 2)) < 1
26	25	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (abs‘(1 / 2)) < 1)
27	19, 26	expcnv 15213	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ⇝ 0)
28	17, 27	eqbrtrid 5093	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ↾ (ℤ≥‘0)) ⇝ 0)
29		0z 11986	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
30		zex 11984	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ∈ V
31	30	mptex 6980	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ∈ V
32	31	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ∈ V)
33		climres 14926	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ∈ V) → (((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ↾ (ℤ≥‘0)) ⇝ 0 ↔ (𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ⇝ 0))
34	29, 32, 33	sylancr 589	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ↾ (ℤ≥‘0)) ⇝ 0 ↔ (𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ⇝ 0))
35	28, 34	mpbid 234	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ⇝ 0)
36	1, 2, 3, 11, 35	climi0 14863	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((1 / 2)↑𝑘)) < 𝑅)
37	1	uztrn2 12256	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
38		1rp 12387	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ+
39		rphalfcl 12410	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ ℝ+ → (1 / 2) ∈ ℝ+)
40	38, 39	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ+
41		rpexpcl 13442	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ+)
42	40, 6, 41	sylancr 589	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ+)
43		rpre 12391	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ+ → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ)
44		rpge0 12396	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ+ → 0 ≤ ((1 / 2)↑𝑘))
45	43, 44	absidd 14776	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ+ → (abs‘((1 / 2)↑𝑘)) = ((1 / 2)↑𝑘))
46	42, 45	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (abs‘((1 / 2)↑𝑘)) = ((1 / 2)↑𝑘))
47	46	breq1d 5068	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((abs‘((1 / 2)↑𝑘)) < 𝑅 ↔ ((1 / 2)↑𝑘) < 𝑅))
48	37, 47	sylan2 594	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((abs‘((1 / 2)↑𝑘)) < 𝑅 ↔ ((1 / 2)↑𝑘) < 𝑅))
49	48	anassrs 470	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((abs‘((1 / 2)↑𝑘)) < 𝑅 ↔ ((1 / 2)↑𝑘) < 𝑅))
50	49	ralbidva 3196	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((1 / 2)↑𝑘)) < 𝑅 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((1 / 2)↑𝑘) < 𝑅))
51	50	rexbidva 3296	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((1 / 2)↑𝑘)) < 𝑅 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((1 / 2)↑𝑘) < 𝑅))
52	36, 51	mpbid 234	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((1 / 2)↑𝑘) < 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∀wral 3138  ∃wrex 3139  Vcvv 3494   ⊆ wss 3935   class class class wbr 5058   ↦ cmpt 5138   ↾ cres 5551  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  ℂcc 10529  ℝcr 10530  0cc0 10531  1c1 10532   < clt 10669   ≤ cle 10670   / cdiv 11291  2c2 11686  ℕ₀cn0 11891  ℤcz 11975  ℤ_≥cuz 12237  ℝ⁺crp 12383  ↑cexp 13423  abscabs 14587   ⇝ cli 14835

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-pm 8403  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-sup 8900  df-inf 8901  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12384  df-fl 13156  df-seq 13364  df-exp 13424  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-clim 14839  df-rlim 14840

This theorem is referenced by:  iscmet3lem1  23888  iscmet3lem2  23889