MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscmet3lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iscmet3lem3 23288
Description: Lemma for iscmet3 23291. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
iscmet3.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
Assertion
Ref Expression
iscmet3lem3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((1 / 2)↑𝑘) < 𝑅)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑅   𝑗,𝑍,𝑘   𝑗,𝑀,𝑘

Proof of Theorem iscmet3lem3
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscmet3.1 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 simpl 474 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
3 simpr 479 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑅 ∈ ℝ+)
4 eluzelz 11889 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
54, 1eleq2s 2857 . . . . 5 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℤ)
65adantl 473 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ ℤ)
7 oveq2 6821 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → ((1 / 2)↑𝑛) = ((1 / 2)↑𝑘))
8 eqid 2760 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛))
9 ovex 6841 . . . . 5 ((1 / 2)↑𝑘) ∈ V
107, 8, 9fvmpt 6444 . . . 4 (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘) = ((1 / 2)↑𝑘))
116, 10syl 17 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘) = ((1 / 2)↑𝑘))
12 nn0uz 11915 . . . . . . 7 0 = (ℤ‘0)
1312reseq2i 5548 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ↾ ℕ0) = ((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ↾ (ℤ‘0))
14 nn0ssz 11590 . . . . . . 7 0 ⊆ ℤ
15 resmpt 5607 . . . . . . 7 (ℕ0 ⊆ ℤ → ((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ↾ ℕ0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)))
1614, 15ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ↾ ℕ0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))
1713, 16eqtr3i 2784 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ↾ (ℤ‘0)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))
18 halfcn 11439 . . . . . . 7 (1 / 2) ∈ ℂ
1918a1i 11 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (1 / 2) ∈ ℂ)
20 halfre 11438 . . . . . . . . 9 (1 / 2) ∈ ℝ
21 1rp 12029 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ+
22 rphalfcl 12051 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ ℝ+ → (1 / 2) ∈ ℝ+)
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (1 / 2) ∈ ℝ+
24 rpge0 12038 . . . . . . . . . 10 ((1 / 2) ∈ ℝ+ → 0 ≤ (1 / 2))
2523, 24ax-mp 5 . . . . . . . . 9 0 ≤ (1 / 2)
26 absid 14235 . . . . . . . . 9 (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 2)) → (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2))
2720, 25, 26mp2an 710 . . . . . . . 8 (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2)
28 halflt1 11442 . . . . . . . 8 (1 / 2) < 1
2927, 28eqbrtri 4825 . . . . . . 7 (abs‘(1 / 2)) < 1
3029a1i 11 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (abs‘(1 / 2)) < 1)
3119, 30expcnv 14795 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ⇝ 0)
3217, 31syl5eqbr 4839 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ↾ (ℤ‘0)) ⇝ 0)
33 0z 11580 . . . . 5 0 ∈ ℤ
34 zex 11578 . . . . . . 7 ℤ ∈ V
3534mptex 6650 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ∈ V
3635a1i 11 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ∈ V)
37 climres 14505 . . . . 5 ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ∈ V) → (((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ↾ (ℤ‘0)) ⇝ 0 ↔ (𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ⇝ 0))
3833, 36, 37sylancr 698 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ↾ (ℤ‘0)) ⇝ 0 ↔ (𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ⇝ 0))
3932, 38mpbid 222 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ⇝ 0)
401, 2, 3, 11, 39climi0 14442 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((1 / 2)↑𝑘)) < 𝑅)
411uztrn2 11897 . . . . . 6 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
42 rpexpcl 13073 . . . . . . . . 9 (((1 / 2) ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℤ) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ+)
4323, 6, 42sylancr 698 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ+)
44 rpre 12032 . . . . . . . . 9 (((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ+ → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ)
45 rpge0 12038 . . . . . . . . 9 (((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ+ → 0 ≤ ((1 / 2)↑𝑘))
4644, 45absidd 14360 . . . . . . . 8 (((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ+ → (abs‘((1 / 2)↑𝑘)) = ((1 / 2)↑𝑘))
4743, 46syl 17 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (abs‘((1 / 2)↑𝑘)) = ((1 / 2)↑𝑘))
4847breq1d 4814 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → ((abs‘((1 / 2)↑𝑘)) < 𝑅 ↔ ((1 / 2)↑𝑘) < 𝑅))
4941, 48sylan2 492 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → ((abs‘((1 / 2)↑𝑘)) < 𝑅 ↔ ((1 / 2)↑𝑘) < 𝑅))
5049anassrs 683 . . . 4 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((abs‘((1 / 2)↑𝑘)) < 𝑅 ↔ ((1 / 2)↑𝑘) < 𝑅))
5150ralbidva 3123 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((1 / 2)↑𝑘)) < 𝑅 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((1 / 2)↑𝑘) < 𝑅))
5251rexbidva 3187 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((1 / 2)↑𝑘)) < 𝑅 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((1 / 2)↑𝑘) < 𝑅))
5340, 52mpbid 222 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((1 / 2)↑𝑘) < 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  wrex 3051  Vcvv 3340  wss 3715   class class class wbr 4804  cmpt 4881  cres 5268  cfv 6049  (class class class)co 6813  cc 10126  cr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   < clt 10266  cle 10267   / cdiv 10876  2c2 11262  0cn0 11484  cz 11569  cuz 11879  +crp 12025  cexp 13054  abscabs 14173  cli 14414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-pm 8026  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-sup 8513  df-inf 8514  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-fl 12787  df-seq 12996  df-exp 13055  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-clim 14418  df-rlim 14419
This theorem is referenced by:  iscmet3lem1  23289  iscmet3lem2  23290
  Copyright terms: Public domain W3C validator