Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscplgredg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iscplgredg 26194
 Description: A graph is complete iff all vertices are connected with each other by (at least) one edge. (Contributed by AV, 10-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iscplgr.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
iscplgredg.v 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
iscplgredg (𝐺𝑊 → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑣𝑉𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐺   𝑣,𝑉   𝑛,𝐺,𝑣   𝑛,𝑉   𝑣,𝑊   𝑒,𝐸   𝑒,𝐺   𝑒,𝑉   𝑒,𝑊,𝑛,𝑣
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑣,𝑛)

Proof of Theorem iscplgredg
StepHypRef Expression
1 iscplgr.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
21iscplgrnb 26193 . 2 (𝐺𝑊 → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑣𝑉𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)))
3 df-3an 1038 . . . . . 6 (((𝑛𝑉𝑣𝑉) ∧ 𝑛𝑣 ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒) ↔ (((𝑛𝑉𝑣𝑉) ∧ 𝑛𝑣) ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒))
43a1i 11 . . . . 5 (((𝐺𝑊𝑣𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → (((𝑛𝑉𝑣𝑉) ∧ 𝑛𝑣 ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒) ↔ (((𝑛𝑉𝑣𝑉) ∧ 𝑛𝑣) ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒)))
5 iscplgredg.v . . . . . . 7 𝐸 = (Edg‘𝐺)
61, 5nbgrel 26119 . . . . . 6 (𝐺𝑊 → (𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ((𝑛𝑉𝑣𝑉) ∧ 𝑛𝑣 ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒)))
76ad2antrr 761 . . . . 5 (((𝐺𝑊𝑣𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → (𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ((𝑛𝑉𝑣𝑉) ∧ 𝑛𝑣 ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒)))
8 eldifsn 4292 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}) ↔ (𝑛𝑉𝑛𝑣))
9 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝐺𝑊𝑣𝑉) → 𝑣𝑉)
10 simpl 473 . . . . . . . . 9 ((𝑛𝑉𝑛𝑣) → 𝑛𝑉)
119, 10anim12ci 590 . . . . . . . 8 (((𝐺𝑊𝑣𝑉) ∧ (𝑛𝑉𝑛𝑣)) → (𝑛𝑉𝑣𝑉))
12 simprr 795 . . . . . . . 8 (((𝐺𝑊𝑣𝑉) ∧ (𝑛𝑉𝑛𝑣)) → 𝑛𝑣)
1311, 12jca 554 . . . . . . 7 (((𝐺𝑊𝑣𝑉) ∧ (𝑛𝑉𝑛𝑣)) → ((𝑛𝑉𝑣𝑉) ∧ 𝑛𝑣))
148, 13sylan2b 492 . . . . . 6 (((𝐺𝑊𝑣𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → ((𝑛𝑉𝑣𝑉) ∧ 𝑛𝑣))
1514biantrurd 529 . . . . 5 (((𝐺𝑊𝑣𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → (∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒 ↔ (((𝑛𝑉𝑣𝑉) ∧ 𝑛𝑣) ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒)))
164, 7, 153bitr4d 300 . . . 4 (((𝐺𝑊𝑣𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → (𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒))
1716ralbidva 2984 . . 3 ((𝐺𝑊𝑣𝑉) → (∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒))
1817ralbidva 2984 . 2 (𝐺𝑊 → (∀𝑣𝑉𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ∀𝑣𝑉𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒))
192, 18bitrd 268 1 (𝐺𝑊 → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑣𝑉𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1992   ≠ wne 2796  ∀wral 2912  ∃wrex 2913   ∖ cdif 3557   ⊆ wss 3560  {csn 4153  {cpr 4155  ‘cfv 5850  (class class class)co 6605  Vtxcvtx 25769  Edgcedg 25834   NeighbVtx cnbgr 26105  ComplGraphccplgr 26107 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fv 5858  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-nbgr 26109  df-uvtxa 26111  df-cplgr 26112 This theorem is referenced by:  cplgrop  26214  cusconngr  26911
 Copyright terms: Public domain W3C validator