Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscrng2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iscrng2 18544
 Description: A commutative ring is a ring whose multiplication is a commutative monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ringcl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringcl.t · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
iscrng2 (𝑅 ∈ CRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝑅,𝑦
Allowed substitution hints:   · (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem iscrng2
StepHypRef Expression
1 eqid 2620 . . 3 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
21iscrng 18535 . 2 (𝑅 ∈ CRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd))
31ringmgp 18534 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
4 ringcl.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
51, 4mgpbas 18476 . . . . . 6 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
6 ringcl.t . . . . . . 7 · = (.r𝑅)
71, 6mgpplusg 18474 . . . . . 6 · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
85, 7iscmn 18181 . . . . 5 ((mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd ↔ ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥)))
98baib 943 . . . 4 ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd → ((mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥)))
103, 9syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥)))
1110pm5.32i 668 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥)))
122, 11bitri 264 1 (𝑅 ∈ CRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1481   ∈ wcel 1988  ∀wral 2909  ‘cfv 5876  (class class class)co 6635  Basecbs 15838  .rcmulr 15923  Mndcmnd 17275  CMndccmn 18174  mulGrpcmgp 18470  Ringcrg 18528  CRingccrg 18529 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-2 11064  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-plusg 15935  df-cmn 18176  df-mgp 18471  df-ring 18530  df-cring 18531 This theorem is referenced by:  quscrng  19221  mat0dimcrng  20257  mat1dimcrng  20264  dmatcrng  20289  scmatcrng  20308
 Copyright terms: Public domain W3C validator