Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isdomn3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isdomn3 37249
 Description: Nonzero elements form a multiplicative submonoid of any domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isdomn3.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
isdomn3.z 0 = (0g𝑅)
isdomn3.u 𝑈 = (mulGrp‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
isdomn3 (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘𝑈)))

Proof of Theorem isdomn3
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isdomn3.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 eqid 2626 . . 3 (.r𝑅) = (.r𝑅)
3 isdomn3.z . . 3 0 = (0g𝑅)
41, 2, 3isdomn 19208 . 2 (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 ))))
5 eqid 2626 . . . . . 6 (1r𝑅) = (1r𝑅)
65, 3isnzr 19173 . . . . 5 (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ≠ 0 ))
76anbi1i 730 . . . 4 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 ))) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ≠ 0 ) ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 ))))
8 anass 680 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ≠ 0 ) ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 ))) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ((1r𝑅) ≠ 0 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 )))))
97, 8bitri 264 . . 3 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 ))) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ((1r𝑅) ≠ 0 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 )))))
101, 5ringidcl 18484 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
11 eldifsn 4292 . . . . . . . 8 ((1r𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ((1r𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (1r𝑅) ≠ 0 ))
1211baibr 944 . . . . . . 7 ((1r𝑅) ∈ 𝐵 → ((1r𝑅) ≠ 0 ↔ (1r𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
1310, 12syl 17 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → ((1r𝑅) ≠ 0 ↔ (1r𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
141, 2ringcl 18477 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝐵)
15143expb 1263 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝐵)
1615biantrurd 529 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑥(.r𝑅)𝑦) ≠ 0 ↔ ((𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝐵 ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑦) ≠ 0 )))
17 eldifsn 4292 . . . . . . . . . 10 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ((𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝐵 ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑦) ≠ 0 ))
1816, 17syl6bbr 278 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑥(.r𝑅)𝑦) ≠ 0 ↔ (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
1918imbi2d 330 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (((𝑥0𝑦0 ) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ≠ 0 ) ↔ ((𝑥0𝑦0 ) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
20192ralbidva 2987 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥0𝑦0 ) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ≠ 0 ) ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥0𝑦0 ) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
21 con34b 306 . . . . . . . . 9 (((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 )) ↔ (¬ (𝑥 = 0𝑦 = 0 ) → ¬ (𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 ))
22 neanior 2888 . . . . . . . . . 10 ((𝑥0𝑦0 ) ↔ ¬ (𝑥 = 0𝑦 = 0 ))
23 df-ne 2797 . . . . . . . . . 10 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) ≠ 0 ↔ ¬ (𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 )
2422, 23imbi12i 340 . . . . . . . . 9 (((𝑥0𝑦0 ) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ≠ 0 ) ↔ (¬ (𝑥 = 0𝑦 = 0 ) → ¬ (𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 ))
2521, 24bitr4i 267 . . . . . . . 8 (((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 )) ↔ ((𝑥0𝑦0 ) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ≠ 0 ))
26252ralbii 2980 . . . . . . 7 (∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 )) ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥0𝑦0 ) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ≠ 0 ))
27 impexp 462 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑥0𝑦0 )) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ↔ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → ((𝑥0𝑦0 ) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
28 an4 864 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑥0𝑦0 )) ↔ ((𝑥𝐵𝑥0 ) ∧ (𝑦𝐵𝑦0 )))
29 eldifsn 4292 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑥𝐵𝑥0 ))
30 eldifsn 4292 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑦𝐵𝑦0 ))
3129, 30anbi12i 732 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ↔ ((𝑥𝐵𝑥0 ) ∧ (𝑦𝐵𝑦0 )))
3228, 31bitr4i 267 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑥0𝑦0 )) ↔ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
3332imbi1i 339 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑥0𝑦0 )) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ↔ ((𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
3427, 33bitr3i 266 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝐵𝑦𝐵) → ((𝑥0𝑦0 ) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) ↔ ((𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
35342albii 1745 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝑦((𝑥𝐵𝑦𝐵) → ((𝑥0𝑦0 ) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) ↔ ∀𝑥𝑦((𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
36 r2al 2939 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥0𝑦0 ) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ↔ ∀𝑥𝑦((𝑥𝐵𝑦𝐵) → ((𝑥0𝑦0 ) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
37 r2al 2939 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ∀𝑥𝑦((𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
3835, 36, 373bitr4ri 293 . . . . . . 7 (∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥0𝑦0 ) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
3920, 26, 383bitr4g 303 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 )) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
4013, 39anbi12d 746 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (((1r𝑅) ≠ 0 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 ))) ↔ ((1r𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
41 isdomn3.u . . . . . . 7 𝑈 = (mulGrp‘𝑅)
4241ringmgp 18469 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ∈ Mnd)
4341, 1mgpbas 18411 . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝑈)
4441, 5ringidval 18419 . . . . . . . . 9 (1r𝑅) = (0g𝑈)
4541, 2mgpplusg 18409 . . . . . . . . 9 (.r𝑅) = (+g𝑈)
4643, 44, 45issubm 17263 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ Mnd → ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘𝑈) ↔ ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵 ∧ (1r𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
47 3anass 1040 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵 ∧ (1r𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ↔ ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵 ∧ ((1r𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
4846, 47syl6bb 276 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ Mnd → ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘𝑈) ↔ ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵 ∧ ((1r𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))))
49 difss 3720 . . . . . . . 8 (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵
5049biantrur 527 . . . . . . 7 (((1r𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ↔ ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵 ∧ ((1r𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
5148, 50syl6bbr 278 . . . . . 6 (𝑈 ∈ Mnd → ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘𝑈) ↔ ((1r𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
5242, 51syl 17 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘𝑈) ↔ ((1r𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
5340, 52bitr4d 271 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (((1r𝑅) ≠ 0 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 ))) ↔ (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘𝑈)))
5453pm5.32i 668 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((1r𝑅) ≠ 0 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 )))) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘𝑈)))
559, 54bitri 264 . 2 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 ))) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘𝑈)))
564, 55bitri 264 1 (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘𝑈)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036  ∀wal 1478   = wceq 1480   ∈ wcel 1992   ≠ wne 2796  ∀wral 2912   ∖ cdif 3557   ⊆ wss 3560  {csn 4153  ‘cfv 5850  (class class class)co 6605  Basecbs 15776  .rcmulr 15858  0gc0g 16016  Mndcmnd 17210  SubMndcsubmnd 17250  mulGrpcmgp 18405  1rcur 18417  Ringcrg 18463  NzRingcnzr 19171  Domncdomn 19194 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-2 11024  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-sets 15782  df-plusg 15870  df-0g 16018  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-submnd 17252  df-mgp 18406  df-ur 18418  df-ring 18465  df-nzr 19172  df-domn 19198 This theorem is referenced by:  deg1mhm  37252
 Copyright terms: Public domain W3C validator