MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isdrng2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isdrng2 18805
Description: A division ring can equivalently be defined as a ring such that the nonzero elements form a group under multiplication (from which it follows that this is the same group as the group of units). (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isdrng2.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
isdrng2.z 0 = (0g𝑅)
isdrng2.g 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))
Assertion
Ref Expression
isdrng2 (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp))

Proof of Theorem isdrng2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isdrng2.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 eqid 2651 . . 3 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
3 isdrng2.z . . 3 0 = (0g𝑅)
41, 2, 3isdrng 18799 . 2 (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝑅) = (𝐵 ∖ { 0 })))
5 oveq2 6698 . . . . . . 7 ((Unit‘𝑅) = (𝐵 ∖ { 0 }) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))
65adantl 481 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝑅) = (𝐵 ∖ { 0 })) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))
7 isdrng2.g . . . . . 6 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))
86, 7syl6eqr 2703 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝑅) = (𝐵 ∖ { 0 })) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) = 𝐺)
9 eqid 2651 . . . . . . 7 ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))
102, 9unitgrp 18713 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) ∈ Grp)
1110adantr 480 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝑅) = (𝐵 ∖ { 0 })) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) ∈ Grp)
128, 11eqeltrrd 2731 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝑅) = (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝐺 ∈ Grp)
131, 2unitcl 18705 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (Unit‘𝑅) → 𝑥𝐵)
1413adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝑥𝐵)
15 difss 3770 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵
16 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
1716, 1mgpbas 18541 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
187, 17ressbas2 15978 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵 → (𝐵 ∖ { 0 }) = (Base‘𝐺))
1915, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ∖ { 0 }) = (Base‘𝐺)
20 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . 14 (0g𝐺) = (0g𝐺)
2119, 20grpidcl 17497 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
2221ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅)) → (0g𝐺) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
23 eldifsn 4350 . . . . . . . . . . . 12 ((0g𝐺) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ((0g𝐺) ∈ 𝐵 ∧ (0g𝐺) ≠ 0 ))
2422, 23sylib 208 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((0g𝐺) ∈ 𝐵 ∧ (0g𝐺) ≠ 0 ))
2524simprd 478 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅)) → (0g𝐺) ≠ 0 )
26 simpll 805 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
2722eldifad 3619 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅)) → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
28 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅))
29 eqid 2651 . . . . . . . . . . . 12 (/r𝑅) = (/r𝑅)
30 eqid 2651 . . . . . . . . . . . 12 (.r𝑅) = (.r𝑅)
311, 2, 29, 30dvrcan1 18737 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (0g𝐺) ∈ 𝐵𝑥 ∈ (Unit‘𝑅)) → (((0g𝐺)(/r𝑅)𝑥)(.r𝑅)𝑥) = (0g𝐺))
3226, 27, 28, 31syl3anc 1366 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅)) → (((0g𝐺)(/r𝑅)𝑥)(.r𝑅)𝑥) = (0g𝐺))
331, 2, 29dvrcl 18732 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (0g𝐺) ∈ 𝐵𝑥 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((0g𝐺)(/r𝑅)𝑥) ∈ 𝐵)
3426, 27, 28, 33syl3anc 1366 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((0g𝐺)(/r𝑅)𝑥) ∈ 𝐵)
351, 30, 3ringrz 18634 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((0g𝐺)(/r𝑅)𝑥) ∈ 𝐵) → (((0g𝐺)(/r𝑅)𝑥)(.r𝑅) 0 ) = 0 )
3626, 34, 35syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅)) → (((0g𝐺)(/r𝑅)𝑥)(.r𝑅) 0 ) = 0 )
3725, 32, 363netr4d 2900 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅)) → (((0g𝐺)(/r𝑅)𝑥)(.r𝑅)𝑥) ≠ (((0g𝐺)(/r𝑅)𝑥)(.r𝑅) 0 ))
38 oveq2 6698 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 0 → (((0g𝐺)(/r𝑅)𝑥)(.r𝑅)𝑥) = (((0g𝐺)(/r𝑅)𝑥)(.r𝑅) 0 ))
3938necon3i 2855 . . . . . . . . 9 ((((0g𝐺)(/r𝑅)𝑥)(.r𝑅)𝑥) ≠ (((0g𝐺)(/r𝑅)𝑥)(.r𝑅) 0 ) → 𝑥0 )
4037, 39syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝑥0 )
41 eldifsn 4350 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑥𝐵𝑥0 ))
4214, 40, 41sylanbrc 699 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
4342ex 449 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) → (𝑥 ∈ (Unit‘𝑅) → 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
4443ssrdv 3642 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) → (Unit‘𝑅) ⊆ (𝐵 ∖ { 0 }))
45 eldifi 3765 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑥𝐵)
4645adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑥𝐵)
47 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . 13 (invg𝐺) = (invg𝐺)
4819, 47grpinvcl 17514 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
4948adantll 750 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
5049eldifad 3619 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵)
51 eqid 2651 . . . . . . . . . . 11 (∥r𝑅) = (∥r𝑅)
521, 51, 30dvdsrmul 18694 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐵 ∧ ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵) → 𝑥(∥r𝑅)(((invg𝐺)‘𝑥)(.r𝑅)𝑥))
5346, 50, 52syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑥(∥r𝑅)(((invg𝐺)‘𝑥)(.r𝑅)𝑥))
54 fvex 6239 . . . . . . . . . . . . . 14 (Base‘𝑅) ∈ V
551, 54eqeltri 2726 . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 ∈ V
56 difexg 4841 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V)
5716, 30mgpplusg 18539 . . . . . . . . . . . . . 14 (.r𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
587, 57ressplusg 16040 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V → (.r𝑅) = (+g𝐺))
5955, 56, 58mp2b 10 . . . . . . . . . . . 12 (.r𝑅) = (+g𝐺)
6019, 59, 20, 47grplinv 17515 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (((invg𝐺)‘𝑥)(.r𝑅)𝑥) = (0g𝐺))
6160adantll 750 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (((invg𝐺)‘𝑥)(.r𝑅)𝑥) = (0g𝐺))
62 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1r𝑅) = (1r𝑅)
631, 62ringidcl 18614 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
641, 30, 62ringlidm 18617 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐵) → ((1r𝑅)(.r𝑅)(1r𝑅)) = (1r𝑅))
6563, 64mpdan 703 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ Ring → ((1r𝑅)(.r𝑅)(1r𝑅)) = (1r𝑅))
6665adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) → ((1r𝑅)(.r𝑅)(1r𝑅)) = (1r𝑅))
67 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) → 𝐺 ∈ Grp)
682, 621unit 18704 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ (Unit‘𝑅))
6968adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) → (1r𝑅) ∈ (Unit‘𝑅))
7044, 69sseldd 3637 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) → (1r𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
7119, 59, 20grpid 17504 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (1r𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (((1r𝑅)(.r𝑅)(1r𝑅)) = (1r𝑅) ↔ (0g𝐺) = (1r𝑅)))
7267, 70, 71syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) → (((1r𝑅)(.r𝑅)(1r𝑅)) = (1r𝑅) ↔ (0g𝐺) = (1r𝑅)))
7366, 72mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) → (0g𝐺) = (1r𝑅))
7473adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (0g𝐺) = (1r𝑅))
7561, 74eqtrd 2685 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (((invg𝐺)‘𝑥)(.r𝑅)𝑥) = (1r𝑅))
7653, 75breqtrd 4711 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑥(∥r𝑅)(1r𝑅))
77 eqid 2651 . . . . . . . . . . . 12 (oppr𝑅) = (oppr𝑅)
7877, 1opprbas 18675 . . . . . . . . . . 11 𝐵 = (Base‘(oppr𝑅))
79 eqid 2651 . . . . . . . . . . 11 (∥r‘(oppr𝑅)) = (∥r‘(oppr𝑅))
80 eqid 2651 . . . . . . . . . . 11 (.r‘(oppr𝑅)) = (.r‘(oppr𝑅))
8178, 79, 80dvdsrmul 18694 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐵 ∧ ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵) → 𝑥(∥r‘(oppr𝑅))(((invg𝐺)‘𝑥)(.r‘(oppr𝑅))𝑥))
8246, 50, 81syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑥(∥r‘(oppr𝑅))(((invg𝐺)‘𝑥)(.r‘(oppr𝑅))𝑥))
831, 30, 77, 80opprmul 18672 . . . . . . . . . 10 (((invg𝐺)‘𝑥)(.r‘(oppr𝑅))𝑥) = (𝑥(.r𝑅)((invg𝐺)‘𝑥))
8419, 59, 20, 47grprinv 17516 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑥(.r𝑅)((invg𝐺)‘𝑥)) = (0g𝐺))
8584adantll 750 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑥(.r𝑅)((invg𝐺)‘𝑥)) = (0g𝐺))
8685, 74eqtrd 2685 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑥(.r𝑅)((invg𝐺)‘𝑥)) = (1r𝑅))
8783, 86syl5eq 2697 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (((invg𝐺)‘𝑥)(.r‘(oppr𝑅))𝑥) = (1r𝑅))
8882, 87breqtrd 4711 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑥(∥r‘(oppr𝑅))(1r𝑅))
892, 62, 51, 77, 79isunit 18703 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (𝑥(∥r𝑅)(1r𝑅) ∧ 𝑥(∥r‘(oppr𝑅))(1r𝑅)))
9076, 88, 89sylanbrc 699 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅))
9190ex 449 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) → (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅)))
9291ssrdv 3642 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) → (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ (Unit‘𝑅))
9344, 92eqssd 3653 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) → (Unit‘𝑅) = (𝐵 ∖ { 0 }))
9412, 93impbida 895 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → ((Unit‘𝑅) = (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ 𝐺 ∈ Grp))
9594pm5.32i 670 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝑅) = (𝐵 ∖ { 0 })) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp))
964, 95bitri 264 1 (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  Vcvv 3231  cdif 3604  wss 3607  {csn 4210   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  s cress 15905  +gcplusg 15988  .rcmulr 15989  0gc0g 16147  Grpcgrp 17469  invgcminusg 17470  mulGrpcmgp 18535  1rcur 18547  Ringcrg 18593  opprcoppr 18668  rcdsr 18684  Unitcui 18685  /rcdvr 18728  DivRingcdr 18795
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-dvr 18729  df-drng 18797
This theorem is referenced by:  drngmgp  18807  isdrngd  18820
  Copyright terms: Public domain W3C validator