MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isdrngrd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isdrngrd 19457
Description: Properties that characterize a division ring among rings: it should be nonzero, have no nonzero zero-divisors, and every nonzero element 𝑥 should have a right-inverse 𝐼(𝑥). See isdrngd 19456 for the characterization using left-inverses. (Contributed by NM, 10-Aug-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
isdrngd.b (𝜑𝐵 = (Base‘𝑅))
isdrngd.t (𝜑· = (.r𝑅))
isdrngd.z (𝜑0 = (0g𝑅))
isdrngd.u (𝜑1 = (1r𝑅))
isdrngd.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
isdrngd.n ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 ) ∧ (𝑦𝐵𝑦0 )) → (𝑥 · 𝑦) ≠ 0 )
isdrngd.o (𝜑10 )
isdrngd.i ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 )) → 𝐼𝐵)
isdrngd.j ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 )) → 𝐼0 )
isdrngrd.k ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 )) → (𝑥 · 𝐼) = 1 )
Assertion
Ref Expression
isdrngrd (𝜑𝑅 ∈ DivRing)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, 0   𝑥, 1 ,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑦,𝐼   𝑥,𝑅,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥, · ,𝑦
Allowed substitution hint:   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem isdrngrd
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isdrngd.b . . . 4 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑅))
2 eqid 2818 . . . . 5 (oppr𝑅) = (oppr𝑅)
3 eqid 2818 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
42, 3opprbas 19308 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr𝑅))
51, 4syl6eq 2869 . . 3 (𝜑𝐵 = (Base‘(oppr𝑅)))
6 eqidd 2819 . . 3 (𝜑 → (.r‘(oppr𝑅)) = (.r‘(oppr𝑅)))
7 isdrngd.z . . . 4 (𝜑0 = (0g𝑅))
8 eqid 2818 . . . . 5 (0g𝑅) = (0g𝑅)
92, 8oppr0 19312 . . . 4 (0g𝑅) = (0g‘(oppr𝑅))
107, 9syl6eq 2869 . . 3 (𝜑0 = (0g‘(oppr𝑅)))
11 isdrngd.u . . . 4 (𝜑1 = (1r𝑅))
12 eqid 2818 . . . . 5 (1r𝑅) = (1r𝑅)
132, 12oppr1 19313 . . . 4 (1r𝑅) = (1r‘(oppr𝑅))
1411, 13syl6eq 2869 . . 3 (𝜑1 = (1r‘(oppr𝑅)))
15 isdrngd.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
162opprring 19310 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (oppr𝑅) ∈ Ring)
1715, 16syl 17 . . 3 (𝜑 → (oppr𝑅) ∈ Ring)
18 eleq1w 2892 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝐵𝑥𝐵))
19 neeq1 3075 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦0𝑥0 ))
2018, 19anbi12d 630 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦𝐵𝑦0 ) ↔ (𝑥𝐵𝑥0 )))
21203anbi2d 1432 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) ↔ (𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 ))))
22 oveq1 7152 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦(.r‘(oppr𝑅))𝑧) = (𝑥(.r‘(oppr𝑅))𝑧))
2322neeq1d 3072 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦(.r‘(oppr𝑅))𝑧) ≠ 0 ↔ (𝑥(.r‘(oppr𝑅))𝑧) ≠ 0 ))
2421, 23imbi12d 346 . . . 4 (𝑦 = 𝑥 → (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → (𝑦(.r‘(oppr𝑅))𝑧) ≠ 0 ) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → (𝑥(.r‘(oppr𝑅))𝑧) ≠ 0 )))
25 eleq1w 2892 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥𝐵𝑧𝐵))
26 neeq1 3075 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥0𝑧0 ))
2725, 26anbi12d 630 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥𝐵𝑥0 ) ↔ (𝑧𝐵𝑧0 )))
28273anbi3d 1433 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑥𝐵𝑥0 )) ↔ (𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 ))))
29 oveq2 7153 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → (𝑦(.r‘(oppr𝑅))𝑥) = (𝑦(.r‘(oppr𝑅))𝑧))
3029neeq1d 3072 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑦(.r‘(oppr𝑅))𝑥) ≠ 0 ↔ (𝑦(.r‘(oppr𝑅))𝑧) ≠ 0 ))
3128, 30imbi12d 346 . . . . 5 (𝑥 = 𝑧 → (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑥𝐵𝑥0 )) → (𝑦(.r‘(oppr𝑅))𝑥) ≠ 0 ) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → (𝑦(.r‘(oppr𝑅))𝑧) ≠ 0 )))
32 isdrngd.t . . . . . . . . . 10 (𝜑· = (.r𝑅))
33323ad2ant1 1125 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 ) ∧ (𝑦𝐵𝑦0 )) → · = (.r𝑅))
3433oveqd 7162 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 ) ∧ (𝑦𝐵𝑦0 )) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑥(.r𝑅)𝑦))
35 eqid 2818 . . . . . . . . 9 (.r𝑅) = (.r𝑅)
36 eqid 2818 . . . . . . . . 9 (.r‘(oppr𝑅)) = (.r‘(oppr𝑅))
373, 35, 2, 36opprmul 19305 . . . . . . . 8 (𝑦(.r‘(oppr𝑅))𝑥) = (𝑥(.r𝑅)𝑦)
3834, 37syl6eqr 2871 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 ) ∧ (𝑦𝐵𝑦0 )) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦(.r‘(oppr𝑅))𝑥))
39 isdrngd.n . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 ) ∧ (𝑦𝐵𝑦0 )) → (𝑥 · 𝑦) ≠ 0 )
4038, 39eqnetrrd 3081 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 ) ∧ (𝑦𝐵𝑦0 )) → (𝑦(.r‘(oppr𝑅))𝑥) ≠ 0 )
41403com23 1118 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑥𝐵𝑥0 )) → (𝑦(.r‘(oppr𝑅))𝑥) ≠ 0 )
4231, 41chvarvv 1996 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → (𝑦(.r‘(oppr𝑅))𝑧) ≠ 0 )
4324, 42chvarvv 1996 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → (𝑥(.r‘(oppr𝑅))𝑧) ≠ 0 )
44 isdrngd.o . . 3 (𝜑10 )
45 isdrngd.i . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 )) → 𝐼𝐵)
46 isdrngd.j . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 )) → 𝐼0 )
473, 35, 2, 36opprmul 19305 . . . 4 (𝐼(.r‘(oppr𝑅))𝑥) = (𝑥(.r𝑅)𝐼)
4832adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 )) → · = (.r𝑅))
4948oveqd 7162 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 )) → (𝑥 · 𝐼) = (𝑥(.r𝑅)𝐼))
50 isdrngrd.k . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 )) → (𝑥 · 𝐼) = 1 )
5149, 50eqtr3d 2855 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 )) → (𝑥(.r𝑅)𝐼) = 1 )
5247, 51syl5eq 2865 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 )) → (𝐼(.r‘(oppr𝑅))𝑥) = 1 )
535, 6, 10, 14, 17, 43, 44, 45, 46, 52isdrngd 19456 . 2 (𝜑 → (oppr𝑅) ∈ DivRing)
542opprdrng 19455 . 2 (𝑅 ∈ DivRing ↔ (oppr𝑅) ∈ DivRing)
5553, 54sylibr 235 1 (𝜑𝑅 ∈ DivRing)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  .rcmulr 16554  0gc0g 16701  1rcur 19180  Ringcrg 19226  opprcoppr 19301  DivRingcdr 19431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-tpos 7881  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-0g 16703  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-oppr 19302  df-dvdsr 19320  df-unit 19321  df-invr 19351  df-dvr 19362  df-drng 19433
This theorem is referenced by:  erngdvlem4-rN  38015
  Copyright terms: Public domain W3C validator