MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isdrs2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isdrs2 16855
Description: Directed sets may be defined in terms of finite subsets. Again, without nonemptiness we would need to restrict to nonempty subsets here. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
drsbn0.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
drsdirfi.l = (le‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
isdrs2 (𝐾 ∈ Dirset ↔ (𝐾 ∈ Preset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦𝐵𝑧𝑥 𝑧 𝑦))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐾,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥, ,𝑦,𝑧

Proof of Theorem isdrs2
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 drsprs 16852 . . 3 (𝐾 ∈ Dirset → 𝐾 ∈ Preset )
2 simpl 473 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝐾 ∈ Dirset)
3 inss1 3816 . . . . . . . 8 (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝐵
43sseli 3584 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐵)
54elpwid 4146 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → 𝑥𝐵)
65adantl 482 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑥𝐵)
7 inss2 3817 . . . . . . 7 (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ⊆ Fin
87sseli 3584 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
98adantl 482 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
10 drsbn0.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
11 drsdirfi.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
1210, 11drsdirfi 16854 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑥𝐵𝑥 ∈ Fin) → ∃𝑦𝐵𝑧𝑥 𝑧 𝑦)
132, 6, 9, 12syl3anc 1323 . . . 4 ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → ∃𝑦𝐵𝑧𝑥 𝑧 𝑦)
1413ralrimiva 2965 . . 3 (𝐾 ∈ Dirset → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦𝐵𝑧𝑥 𝑧 𝑦)
151, 14jca 554 . 2 (𝐾 ∈ Dirset → (𝐾 ∈ Preset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦𝐵𝑧𝑥 𝑧 𝑦))
16 simpl 473 . . 3 ((𝐾 ∈ Preset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦𝐵𝑧𝑥 𝑧 𝑦) → 𝐾 ∈ Preset )
17 0elpw 4799 . . . . . . 7 ∅ ∈ 𝒫 𝐵
18 0fin 8133 . . . . . . 7 ∅ ∈ Fin
19 elin 3779 . . . . . . 7 (∅ ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↔ (∅ ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ∅ ∈ Fin))
2017, 18, 19mpbir2an 954 . . . . . 6 ∅ ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)
21 raleq 3132 . . . . . . . 8 (𝑥 = ∅ → (∀𝑧𝑥 𝑧 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ ∅ 𝑧 𝑦))
2221rexbidv 3050 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → (∃𝑦𝐵𝑧𝑥 𝑧 𝑦 ↔ ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ ∅ 𝑧 𝑦))
2322rspcv 3296 . . . . . 6 (∅ ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → (∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦𝐵𝑧𝑥 𝑧 𝑦 → ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ ∅ 𝑧 𝑦))
2420, 23ax-mp 5 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦𝐵𝑧𝑥 𝑧 𝑦 → ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ ∅ 𝑧 𝑦)
25 rexn0 4051 . . . . 5 (∃𝑦𝐵𝑧 ∈ ∅ 𝑧 𝑦𝐵 ≠ ∅)
2624, 25syl 17 . . . 4 (∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦𝐵𝑧𝑥 𝑧 𝑦𝐵 ≠ ∅)
2726adantl 482 . . 3 ((𝐾 ∈ Preset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦𝐵𝑧𝑥 𝑧 𝑦) → 𝐵 ≠ ∅)
28 prelpwi 4881 . . . . . . . 8 ((𝑎𝐵𝑏𝐵) → {𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝐵)
29 prfi 8180 . . . . . . . . 9 {𝑎, 𝑏} ∈ Fin
3029a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑎𝐵𝑏𝐵) → {𝑎, 𝑏} ∈ Fin)
3128, 30elind 3781 . . . . . . 7 ((𝑎𝐵𝑏𝐵) → {𝑎, 𝑏} ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
3231adantl 482 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Preset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦𝐵𝑧𝑥 𝑧 𝑦) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → {𝑎, 𝑏} ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
33 simplr 791 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Preset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦𝐵𝑧𝑥 𝑧 𝑦) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦𝐵𝑧𝑥 𝑧 𝑦)
34 raleq 3132 . . . . . . . 8 (𝑥 = {𝑎, 𝑏} → (∀𝑧𝑥 𝑧 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑎, 𝑏}𝑧 𝑦))
3534rexbidv 3050 . . . . . . 7 (𝑥 = {𝑎, 𝑏} → (∃𝑦𝐵𝑧𝑥 𝑧 𝑦 ↔ ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ {𝑎, 𝑏}𝑧 𝑦))
3635rspcva 3298 . . . . . 6 (({𝑎, 𝑏} ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦𝐵𝑧𝑥 𝑧 𝑦) → ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ {𝑎, 𝑏}𝑧 𝑦)
3732, 33, 36syl2anc 692 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Preset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦𝐵𝑧𝑥 𝑧 𝑦) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ {𝑎, 𝑏}𝑧 𝑦)
38 vex 3194 . . . . . . 7 𝑎 ∈ V
39 vex 3194 . . . . . . 7 𝑏 ∈ V
40 breq1 4621 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑎 → (𝑧 𝑦𝑎 𝑦))
41 breq1 4621 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑏 → (𝑧 𝑦𝑏 𝑦))
4238, 39, 40, 41ralpr 4214 . . . . . 6 (∀𝑧 ∈ {𝑎, 𝑏}𝑧 𝑦 ↔ (𝑎 𝑦𝑏 𝑦))
4342rexbii 3039 . . . . 5 (∃𝑦𝐵𝑧 ∈ {𝑎, 𝑏}𝑧 𝑦 ↔ ∃𝑦𝐵 (𝑎 𝑦𝑏 𝑦))
4437, 43sylib 208 . . . 4 (((𝐾 ∈ Preset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦𝐵𝑧𝑥 𝑧 𝑦) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ∃𝑦𝐵 (𝑎 𝑦𝑏 𝑦))
4544ralrimivva 2970 . . 3 ((𝐾 ∈ Preset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦𝐵𝑧𝑥 𝑧 𝑦) → ∀𝑎𝐵𝑏𝐵𝑦𝐵 (𝑎 𝑦𝑏 𝑦))
4610, 11isdrs 16850 . . 3 (𝐾 ∈ Dirset ↔ (𝐾 ∈ Preset ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵𝑦𝐵 (𝑎 𝑦𝑏 𝑦)))
4716, 27, 45, 46syl3anbrc 1244 . 2 ((𝐾 ∈ Preset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦𝐵𝑧𝑥 𝑧 𝑦) → 𝐾 ∈ Dirset)
4815, 47impbii 199 1 (𝐾 ∈ Dirset ↔ (𝐾 ∈ Preset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦𝐵𝑧𝑥 𝑧 𝑦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796  wral 2912  wrex 2913  cin 3559  wss 3560  c0 3896  𝒫 cpw 4135  {cpr 4155   class class class wbr 4618  cfv 5850  Fincfn 7900  Basecbs 15776  lecple 15864   Preset cpreset 16842  Dirsetcdrs 16843
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-en 7901  df-fin 7904  df-preset 16844  df-drs 16845
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator