Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isdrs2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isdrs2 16986
 Description: Directed sets may be defined in terms of finite subsets. Again, without nonemptiness we would need to restrict to nonempty subsets here. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
drsbn0.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
drsdirfi.l = (le‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
isdrs2 (𝐾 ∈ Dirset ↔ (𝐾 ∈ Preset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦𝐵𝑧𝑥 𝑧 𝑦))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐾,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥, ,𝑦,𝑧

Proof of Theorem isdrs2
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 drsprs 16983 . . 3 (𝐾 ∈ Dirset → 𝐾 ∈ Preset )
2 simpl 472 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝐾 ∈ Dirset)
3 inss1 3866 . . . . . . . 8 (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝐵
43sseli 3632 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐵)
54elpwid 4203 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → 𝑥𝐵)
65adantl 481 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑥𝐵)
7 inss2 3867 . . . . . . 7 (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ⊆ Fin
87sseli 3632 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
98adantl 481 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
10 drsbn0.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
11 drsdirfi.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
1210, 11drsdirfi 16985 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑥𝐵𝑥 ∈ Fin) → ∃𝑦𝐵𝑧𝑥 𝑧 𝑦)
132, 6, 9, 12syl3anc 1366 . . . 4 ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → ∃𝑦𝐵𝑧𝑥 𝑧 𝑦)
1413ralrimiva 2995 . . 3 (𝐾 ∈ Dirset → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦𝐵𝑧𝑥 𝑧 𝑦)
151, 14jca 553 . 2 (𝐾 ∈ Dirset → (𝐾 ∈ Preset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦𝐵𝑧𝑥 𝑧 𝑦))
16 simpl 472 . . 3 ((𝐾 ∈ Preset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦𝐵𝑧𝑥 𝑧 𝑦) → 𝐾 ∈ Preset )
17 0elpw 4864 . . . . . . 7 ∅ ∈ 𝒫 𝐵
18 0fin 8229 . . . . . . 7 ∅ ∈ Fin
19 elin 3829 . . . . . . 7 (∅ ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↔ (∅ ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ∅ ∈ Fin))
2017, 18, 19mpbir2an 975 . . . . . 6 ∅ ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)
21 raleq 3168 . . . . . . . 8 (𝑥 = ∅ → (∀𝑧𝑥 𝑧 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ ∅ 𝑧 𝑦))
2221rexbidv 3081 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → (∃𝑦𝐵𝑧𝑥 𝑧 𝑦 ↔ ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ ∅ 𝑧 𝑦))
2322rspcv 3336 . . . . . 6 (∅ ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → (∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦𝐵𝑧𝑥 𝑧 𝑦 → ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ ∅ 𝑧 𝑦))
2420, 23ax-mp 5 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦𝐵𝑧𝑥 𝑧 𝑦 → ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ ∅ 𝑧 𝑦)
25 rexn0 4107 . . . . 5 (∃𝑦𝐵𝑧 ∈ ∅ 𝑧 𝑦𝐵 ≠ ∅)
2624, 25syl 17 . . . 4 (∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦𝐵𝑧𝑥 𝑧 𝑦𝐵 ≠ ∅)
2726adantl 481 . . 3 ((𝐾 ∈ Preset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦𝐵𝑧𝑥 𝑧 𝑦) → 𝐵 ≠ ∅)
28 prelpwi 4945 . . . . . . . 8 ((𝑎𝐵𝑏𝐵) → {𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝐵)
29 prfi 8276 . . . . . . . . 9 {𝑎, 𝑏} ∈ Fin
3029a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑎𝐵𝑏𝐵) → {𝑎, 𝑏} ∈ Fin)
3128, 30elind 3831 . . . . . . 7 ((𝑎𝐵𝑏𝐵) → {𝑎, 𝑏} ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
3231adantl 481 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Preset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦𝐵𝑧𝑥 𝑧 𝑦) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → {𝑎, 𝑏} ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
33 simplr 807 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Preset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦𝐵𝑧𝑥 𝑧 𝑦) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦𝐵𝑧𝑥 𝑧 𝑦)
34 raleq 3168 . . . . . . . 8 (𝑥 = {𝑎, 𝑏} → (∀𝑧𝑥 𝑧 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑎, 𝑏}𝑧 𝑦))
3534rexbidv 3081 . . . . . . 7 (𝑥 = {𝑎, 𝑏} → (∃𝑦𝐵𝑧𝑥 𝑧 𝑦 ↔ ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ {𝑎, 𝑏}𝑧 𝑦))
3635rspcva 3338 . . . . . 6 (({𝑎, 𝑏} ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦𝐵𝑧𝑥 𝑧 𝑦) → ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ {𝑎, 𝑏}𝑧 𝑦)
3732, 33, 36syl2anc 694 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Preset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦𝐵𝑧𝑥 𝑧 𝑦) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ {𝑎, 𝑏}𝑧 𝑦)
38 vex 3234 . . . . . . 7 𝑎 ∈ V
39 vex 3234 . . . . . . 7 𝑏 ∈ V
40 breq1 4688 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑎 → (𝑧 𝑦𝑎 𝑦))
41 breq1 4688 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑏 → (𝑧 𝑦𝑏 𝑦))
4238, 39, 40, 41ralpr 4270 . . . . . 6 (∀𝑧 ∈ {𝑎, 𝑏}𝑧 𝑦 ↔ (𝑎 𝑦𝑏 𝑦))
4342rexbii 3070 . . . . 5 (∃𝑦𝐵𝑧 ∈ {𝑎, 𝑏}𝑧 𝑦 ↔ ∃𝑦𝐵 (𝑎 𝑦𝑏 𝑦))
4437, 43sylib 208 . . . 4 (((𝐾 ∈ Preset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦𝐵𝑧𝑥 𝑧 𝑦) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ∃𝑦𝐵 (𝑎 𝑦𝑏 𝑦))
4544ralrimivva 3000 . . 3 ((𝐾 ∈ Preset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦𝐵𝑧𝑥 𝑧 𝑦) → ∀𝑎𝐵𝑏𝐵𝑦𝐵 (𝑎 𝑦𝑏 𝑦))
4610, 11isdrs 16981 . . 3 (𝐾 ∈ Dirset ↔ (𝐾 ∈ Preset ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵𝑦𝐵 (𝑎 𝑦𝑏 𝑦)))
4716, 27, 45, 46syl3anbrc 1265 . 2 ((𝐾 ∈ Preset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦𝐵𝑧𝑥 𝑧 𝑦) → 𝐾 ∈ Dirset)
4815, 47impbii 199 1 (𝐾 ∈ Dirset ↔ (𝐾 ∈ Preset ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∃𝑦𝐵𝑧𝑥 𝑧 𝑦))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∀wral 2941  ∃wrex 2942   ∩ cin 3606   ⊆ wss 3607  ∅c0 3948  𝒫 cpw 4191  {cpr 4212   class class class wbr 4685  ‘cfv 5926  Fincfn 7997  Basecbs 15904  lecple 15995   Preset cpreset 16973  Dirsetcdrs 16974 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-fin 8001  df-preset 16975  df-drs 16976 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator