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Theorem iseralt 14352
 Description: The alternating series test. If 𝐺(𝑘) is a decreasing sequence that converges to 0, then Σ𝑘 ∈ 𝑍(-1↑𝑘) · 𝐺(𝑘) is a convergent series. (Note that the first term is positive if 𝑀 is even, and negative if 𝑀 is odd. If the parity of your series does not match up with this, you will need to post-compose the series with multiplication by -1 using isermulc2 14325.) (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iseralt.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
iseralt.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
iseralt.3 (𝜑𝐺:𝑍⟶ℝ)
iseralt.4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐺𝑘))
iseralt.5 (𝜑𝐺 ⇝ 0)
iseralt.6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = ((-1↑𝑘) · (𝐺𝑘)))
Assertion
Ref Expression
iseralt (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Proof of Theorem iseralt
Dummy variables 𝑗 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iseralt.1 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 seqex 12746 . . 3 seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V
32a1i 11 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V)
4 iseralt.5 . . . 4 (𝜑𝐺 ⇝ 0)
5 iseralt.2 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
6 climrel 14160 . . . . . . 7 Rel ⇝
76brrelexi 5120 . . . . . 6 (𝐺 ⇝ 0 → 𝐺 ∈ V)
84, 7syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ V)
9 eqidd 2622 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐺𝑛) = (𝐺𝑛))
10 iseralt.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐺:𝑍⟶ℝ)
1110ffvelrnda 6317 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐺𝑛) ∈ ℝ)
1211recnd 10015 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐺𝑛) ∈ ℂ)
131, 5, 8, 9, 12clim0c 14175 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 ⇝ 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐺𝑛)) < 𝑥))
144, 13mpbid 222 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐺𝑛)) < 𝑥)
15 simpr 477 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → 𝑗𝑍)
1615, 1syl6eleq 2708 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
17 eluzelz 11644 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
18 uzid 11649 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
1916, 17, 183syl 18 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
20 peano2uz 11688 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (ℤ𝑗) → (𝑗 + 1) ∈ (ℤ𝑗))
21 fveq2 6150 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑗 + 1) → (𝐺𝑛) = (𝐺‘(𝑗 + 1)))
2221fveq2d 6154 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑗 + 1) → (abs‘(𝐺𝑛)) = (abs‘(𝐺‘(𝑗 + 1))))
2322breq1d 4625 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝑗 + 1) → ((abs‘(𝐺𝑛)) < 𝑥 ↔ (abs‘(𝐺‘(𝑗 + 1))) < 𝑥))
2423rspcv 3291 . . . . . . 7 ((𝑗 + 1) ∈ (ℤ𝑗) → (∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐺𝑛)) < 𝑥 → (abs‘(𝐺‘(𝑗 + 1))) < 𝑥))
2519, 20, 243syl 18 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐺𝑛)) < 𝑥 → (abs‘(𝐺‘(𝑗 + 1))) < 𝑥))
26 eluzelz 11644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑛 ∈ (ℤ𝑗) → 𝑛 ∈ ℤ)
2726ad2antll 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝑛 ∈ ℤ)
2827zcnd 11430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝑛 ∈ ℂ)
2917, 1eleq2s 2716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗𝑍𝑗 ∈ ℤ)
3029ad2antrl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝑗 ∈ ℤ)
3130zcnd 11430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝑗 ∈ ℂ)
3228, 31subcld 10339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝑛𝑗) ∈ ℂ)
33 2cnd 11040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → 2 ∈ ℂ)
34 2ne0 11060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ≠ 0
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → 2 ≠ 0)
3632, 33, 35divcan2d 10750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (2 · ((𝑛𝑗) / 2)) = (𝑛𝑗))
3736oveq2d 6623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝑗 + (2 · ((𝑛𝑗) / 2))) = (𝑗 + (𝑛𝑗)))
3831, 28pncan3d 10342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝑗 + (𝑛𝑗)) = 𝑛)
3937, 38eqtr2d 2656 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝑛 = (𝑗 + (2 · ((𝑛𝑗) / 2))))
4039adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ ((𝑛𝑗) / 2) ∈ ℤ) → 𝑛 = (𝑗 + (2 · ((𝑛𝑗) / 2))))
4140fveq2d 6154 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ ((𝑛𝑗) / 2) ∈ ℤ) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑗 + (2 · ((𝑛𝑗) / 2)))))
4241oveq1d 6622 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ ((𝑛𝑗) / 2) ∈ ℤ) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑗 + (2 · ((𝑛𝑗) / 2)))) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗)))
4342fveq2d 6154 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ ((𝑛𝑗) / 2) ∈ ℤ) → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) = (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑗 + (2 · ((𝑛𝑗) / 2)))) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))))
44 simpll 789 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ ((𝑛𝑗) / 2) ∈ ℤ) → 𝜑)
45 simpl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑗𝑍)
4645ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ ((𝑛𝑗) / 2) ∈ ℤ) → 𝑗𝑍)
47 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ ((𝑛𝑗) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑛𝑗) / 2) ∈ ℤ)
4827, 30zsubcld 11434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝑛𝑗) ∈ ℤ)
4948zred 11429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝑛𝑗) ∈ ℝ)
50 eluzle 11647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ (ℤ𝑗) → 𝑗𝑛)
5150ad2antll 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝑗𝑛)
5227zred 11429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝑛 ∈ ℝ)
5330zred 11429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝑗 ∈ ℝ)
5452, 53subge0d 10564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (0 ≤ (𝑛𝑗) ↔ 𝑗𝑛))
5551, 54mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → 0 ≤ (𝑛𝑗))
56 2re 11037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ ℝ
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → 2 ∈ ℝ)
58 2pos 11059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 < 2
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → 0 < 2)
60 divge0 10839 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑛𝑗) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑛𝑗)) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → 0 ≤ ((𝑛𝑗) / 2))
6149, 55, 57, 59, 60syl22anc 1324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → 0 ≤ ((𝑛𝑗) / 2))
6261adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ ((𝑛𝑗) / 2) ∈ ℤ) → 0 ≤ ((𝑛𝑗) / 2))
63 elnn0z 11337 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑛𝑗) / 2) ∈ ℕ0 ↔ (((𝑛𝑗) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑛𝑗) / 2)))
6447, 62, 63sylanbrc 697 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ ((𝑛𝑗) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑛𝑗) / 2) ∈ ℕ0)
65 iseralt.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐺𝑘))
66 iseralt.6 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = ((-1↑𝑘) · (𝐺𝑘)))
671, 5, 10, 65, 4, 66iseraltlem3 14351 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗𝑍 ∧ ((𝑛𝑗) / 2) ∈ ℕ0) → ((abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑗 + (2 · ((𝑛𝑗) / 2)))) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) ≤ (𝐺‘(𝑗 + 1)) ∧ (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑗 + (2 · ((𝑛𝑗) / 2))) + 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) ≤ (𝐺‘(𝑗 + 1))))
6867simpld 475 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗𝑍 ∧ ((𝑛𝑗) / 2) ∈ ℕ0) → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑗 + (2 · ((𝑛𝑗) / 2)))) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) ≤ (𝐺‘(𝑗 + 1)))
6944, 46, 64, 68syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ ((𝑛𝑗) / 2) ∈ ℤ) → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑗 + (2 · ((𝑛𝑗) / 2)))) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) ≤ (𝐺‘(𝑗 + 1)))
7043, 69eqbrtrd 4637 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ ((𝑛𝑗) / 2) ∈ ℤ) → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) ≤ (𝐺‘(𝑗 + 1)))
71 2div2e1 11097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (2 / 2) = 1
7271oveq2i 6618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑛𝑗) + 1) / 2) − (2 / 2)) = ((((𝑛𝑗) + 1) / 2) − 1)
73 peano2cn 10155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑛𝑗) ∈ ℂ → ((𝑛𝑗) + 1) ∈ ℂ)
7432, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝑛𝑗) + 1) ∈ ℂ)
7574, 33, 33, 35divsubdird 10787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → ((((𝑛𝑗) + 1) − 2) / 2) = ((((𝑛𝑗) + 1) / 2) − (2 / 2)))
76 df-2 11026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2 = (1 + 1)
7776oveq2i 6618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑛𝑗) + 1) − 2) = (((𝑛𝑗) + 1) − (1 + 1))
78 ax-1cn 9941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1 ∈ ℂ
7978a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → 1 ∈ ℂ)
8032, 79, 79pnpcan2d 10377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (((𝑛𝑗) + 1) − (1 + 1)) = ((𝑛𝑗) − 1))
8177, 80syl5eq 2667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (((𝑛𝑗) + 1) − 2) = ((𝑛𝑗) − 1))
8281oveq1d 6622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → ((((𝑛𝑗) + 1) − 2) / 2) = (((𝑛𝑗) − 1) / 2))
8375, 82eqtr3d 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → ((((𝑛𝑗) + 1) / 2) − (2 / 2)) = (((𝑛𝑗) − 1) / 2))
8472, 83syl5eqr 2669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → ((((𝑛𝑗) + 1) / 2) − 1) = (((𝑛𝑗) − 1) / 2))
8584oveq2d 6623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (2 · ((((𝑛𝑗) + 1) / 2) − 1)) = (2 · (((𝑛𝑗) − 1) / 2)))
86 subcl 10227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑛𝑗) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑛𝑗) − 1) ∈ ℂ)
8732, 78, 86sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝑛𝑗) − 1) ∈ ℂ)
8887, 33, 35divcan2d 10750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (2 · (((𝑛𝑗) − 1) / 2)) = ((𝑛𝑗) − 1))
8928, 31, 79sub32d 10371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝑛𝑗) − 1) = ((𝑛 − 1) − 𝑗))
9085, 88, 893eqtrd 2659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (2 · ((((𝑛𝑗) + 1) / 2) − 1)) = ((𝑛 − 1) − 𝑗))
9190oveq2d 6623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝑗 + (2 · ((((𝑛𝑗) + 1) / 2) − 1))) = (𝑗 + ((𝑛 − 1) − 𝑗)))
92 subcl 10227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑛 − 1) ∈ ℂ)
9328, 78, 92sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝑛 − 1) ∈ ℂ)
9431, 93pncan3d 10342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝑗 + ((𝑛 − 1) − 𝑗)) = (𝑛 − 1))
9591, 94eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝑗 + (2 · ((((𝑛𝑗) + 1) / 2) − 1))) = (𝑛 − 1))
9695oveq1d 6622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝑗 + (2 · ((((𝑛𝑗) + 1) / 2) − 1))) + 1) = ((𝑛 − 1) + 1))
97 npcan 10237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑛 − 1) + 1) = 𝑛)
9828, 78, 97sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝑛 − 1) + 1) = 𝑛)
9996, 98eqtr2d 2656 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝑛 = ((𝑗 + (2 · ((((𝑛𝑗) + 1) / 2) − 1))) + 1))
10099adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ (((𝑛𝑗) + 1) / 2) ∈ ℤ) → 𝑛 = ((𝑗 + (2 · ((((𝑛𝑗) + 1) / 2) − 1))) + 1))
101100fveq2d 6154 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ (((𝑛𝑗) + 1) / 2) ∈ ℤ) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑗 + (2 · ((((𝑛𝑗) + 1) / 2) − 1))) + 1)))
102101oveq1d 6622 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ (((𝑛𝑗) + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑗 + (2 · ((((𝑛𝑗) + 1) / 2) − 1))) + 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗)))
103102fveq2d 6154 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ (((𝑛𝑗) + 1) / 2) ∈ ℤ) → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) = (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑗 + (2 · ((((𝑛𝑗) + 1) / 2) − 1))) + 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))))
104 simpll 789 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ (((𝑛𝑗) + 1) / 2) ∈ ℤ) → 𝜑)
10545ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ (((𝑛𝑗) + 1) / 2) ∈ ℤ) → 𝑗𝑍)
106 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ (((𝑛𝑗) + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((𝑛𝑗) + 1) / 2) ∈ ℤ)
107 uznn0sub 11666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 ∈ (ℤ𝑗) → (𝑛𝑗) ∈ ℕ0)
108107ad2antll 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝑛𝑗) ∈ ℕ0)
109 nn0p1nn 11279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑛𝑗) ∈ ℕ0 → ((𝑛𝑗) + 1) ∈ ℕ)
110108, 109syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝑛𝑗) + 1) ∈ ℕ)
111110nnrpd 11817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝑛𝑗) + 1) ∈ ℝ+)
112111rphalfcld 11831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (((𝑛𝑗) + 1) / 2) ∈ ℝ+)
113112rpgt0d 11822 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → 0 < (((𝑛𝑗) + 1) / 2))
114113adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ (((𝑛𝑗) + 1) / 2) ∈ ℤ) → 0 < (((𝑛𝑗) + 1) / 2))
115 elnnz 11334 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑛𝑗) + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ ((((𝑛𝑗) + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 < (((𝑛𝑗) + 1) / 2)))
116106, 114, 115sylanbrc 697 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ (((𝑛𝑗) + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((𝑛𝑗) + 1) / 2) ∈ ℕ)
117 nnm1nn0 11281 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑛𝑗) + 1) / 2) ∈ ℕ → ((((𝑛𝑗) + 1) / 2) − 1) ∈ ℕ0)
118116, 117syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ (((𝑛𝑗) + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((((𝑛𝑗) + 1) / 2) − 1) ∈ ℕ0)
1191, 5, 10, 65, 4, 66iseraltlem3 14351 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗𝑍 ∧ ((((𝑛𝑗) + 1) / 2) − 1) ∈ ℕ0) → ((abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑗 + (2 · ((((𝑛𝑗) + 1) / 2) − 1)))) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) ≤ (𝐺‘(𝑗 + 1)) ∧ (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑗 + (2 · ((((𝑛𝑗) + 1) / 2) − 1))) + 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) ≤ (𝐺‘(𝑗 + 1))))
120119simprd 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗𝑍 ∧ ((((𝑛𝑗) + 1) / 2) − 1) ∈ ℕ0) → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑗 + (2 · ((((𝑛𝑗) + 1) / 2) − 1))) + 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) ≤ (𝐺‘(𝑗 + 1)))
121104, 105, 118, 120syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ (((𝑛𝑗) + 1) / 2) ∈ ℤ) → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑗 + (2 · ((((𝑛𝑗) + 1) / 2) − 1))) + 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) ≤ (𝐺‘(𝑗 + 1)))
122103, 121eqbrtrd 4637 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ (((𝑛𝑗) + 1) / 2) ∈ ℤ) → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) ≤ (𝐺‘(𝑗 + 1)))
123 zeo 11410 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛𝑗) ∈ ℤ → (((𝑛𝑗) / 2) ∈ ℤ ∨ (((𝑛𝑗) + 1) / 2) ∈ ℤ))
12448, 123syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (((𝑛𝑗) / 2) ∈ ℤ ∨ (((𝑛𝑗) + 1) / 2) ∈ ℤ))
12570, 122, 124mpjaodan 826 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) ≤ (𝐺‘(𝑗 + 1)))
1261peano2uzs 11689 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗𝑍 → (𝑗 + 1) ∈ 𝑍)
127126adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑗 + 1) ∈ 𝑍)
128 ffvelrn 6315 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺:𝑍⟶ℝ ∧ (𝑗 + 1) ∈ 𝑍) → (𝐺‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
12910, 127, 128syl2an 494 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝐺‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
1301, 5, 10, 65, 4iseraltlem1 14349 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ 𝑍) → 0 ≤ (𝐺‘(𝑗 + 1)))
131127, 130sylan2 491 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → 0 ≤ (𝐺‘(𝑗 + 1)))
132129, 131absidd 14098 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (abs‘(𝐺‘(𝑗 + 1))) = (𝐺‘(𝑗 + 1)))
133125, 132breqtrrd 4643 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) ≤ (abs‘(𝐺‘(𝑗 + 1))))
134133adantlr 750 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) ≤ (abs‘(𝐺‘(𝑗 + 1))))
135 neg1rr 11072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 -1 ∈ ℝ
136135a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘𝑍) → -1 ∈ ℝ)
137 neg1ne0 11073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 -1 ≠ 0
138137a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘𝑍) → -1 ≠ 0)
139 eluzelz 11644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
140139, 1eleq2s 2716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℤ)
141140adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ ℤ)
142136, 138, 141reexpclzd 12977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘𝑍) → (-1↑𝑘) ∈ ℝ)
14310ffvelrnda 6317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
144142, 143remulcld 10017 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘𝑍) → ((-1↑𝑘) · (𝐺𝑘)) ∈ ℝ)
14566, 144eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
1461, 5, 145serfre 12773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℝ)
1471uztrn2 11652 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑛𝑍)
148 ffvelrn 6315 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℝ ∧ 𝑛𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℝ)
149146, 147, 148syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℝ)
150 ffvelrn 6315 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℝ ∧ 𝑗𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℝ)
151146, 45, 150syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℝ)
152149, 151resubcld 10405 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗)) ∈ ℝ)
153152recnd 10015 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗)) ∈ ℂ)
154153abscld 14112 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) ∈ ℝ)
155154adantlr 750 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) ∈ ℝ)
156132, 129eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (abs‘(𝐺‘(𝑗 + 1))) ∈ ℝ)
157156adantlr 750 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (abs‘(𝐺‘(𝑗 + 1))) ∈ ℝ)
158 rpre 11786 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
159158ad2antlr 762 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝑥 ∈ ℝ)
160 lelttr 10075 . . . . . . . . . . 11 (((abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐺‘(𝑗 + 1))) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) ≤ (abs‘(𝐺‘(𝑗 + 1))) ∧ (abs‘(𝐺‘(𝑗 + 1))) < 𝑥) → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑥))
161155, 157, 159, 160syl3anc 1323 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (((abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) ≤ (abs‘(𝐺‘(𝑗 + 1))) ∧ (abs‘(𝐺‘(𝑗 + 1))) < 𝑥) → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑥))
162134, 161mpand 710 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → ((abs‘(𝐺‘(𝑗 + 1))) < 𝑥 → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑥))
163146adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℝ)
164163, 147, 148syl2an 494 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℝ)
165162, 164jctild 565 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → ((abs‘(𝐺‘(𝑗 + 1))) < 𝑥 → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑥)))
166165anassrs 679 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → ((abs‘(𝐺‘(𝑗 + 1))) < 𝑥 → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑥)))
167166ralrimdva 2963 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → ((abs‘(𝐺‘(𝑗 + 1))) < 𝑥 → ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑥)))
16825, 167syld 47 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐺𝑛)) < 𝑥 → ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑥)))
169168reximdva 3011 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐺𝑛)) < 𝑥 → ∃𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑥)))
170169ralimdva 2956 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐺𝑛)) < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑥)))
17114, 170mpd 15 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑥))
1721, 3, 171caurcvg2 14345 1 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 383   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ∀wral 2907  ∃wrex 2908  Vcvv 3186   class class class wbr 4615  dom cdm 5076  ⟶wf 5845  ‘cfv 5849  (class class class)co 6607  ℂcc 9881  ℝcr 9882  0cc0 9883  1c1 9884   + caddc 9886   · cmul 9888   < clt 10021   ≤ cle 10022   − cmin 10213  -cneg 10214   / cdiv 10631  ℕcn 10967  2c2 11017  ℕ0cn0 11239  ℤcz 11324  ℤ≥cuz 11634  ℝ+crp 11779  seqcseq 12744  ↑cexp 12803  abscabs 13911   ⇝ cli 14152 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-inf2 8485  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960  ax-pre-sup 9961 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-er 7690  df-pm 7808  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-sup 8295  df-inf 8296  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-div 10632  df-nn 10968  df-2 11026  df-3 11027  df-n0 11240  df-z 11325  df-uz 11635  df-rp 11780  df-ico 12126  df-fz 12272  df-fl 12536  df-seq 12745  df-exp 12804  df-cj 13776  df-re 13777  df-im 13778  df-sqrt 13912  df-abs 13913  df-limsup 14139  df-clim 14156  df-rlim 14157 This theorem is referenced by:  leibpi  24576
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