MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iseraltlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iseraltlem1 14346
Description: Lemma for iseralt 14349. A decreasing sequence with limit zero consists of positive terms. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iseralt.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
iseralt.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
iseralt.3 (𝜑𝐺:𝑍⟶ℝ)
iseralt.4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐺𝑘))
iseralt.5 (𝜑𝐺 ⇝ 0)
Assertion
Ref Expression
iseraltlem1 ((𝜑𝑁𝑍) → 0 ≤ (𝐺𝑁))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑁   𝑘,𝑍

Proof of Theorem iseraltlem1
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . 2 (ℤ𝑁) = (ℤ𝑁)
2 eluzelz 11641 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
3 iseralt.1 . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
42, 3eleq2s 2716 . . 3 (𝑁𝑍𝑁 ∈ ℤ)
54adantl 482 . 2 ((𝜑𝑁𝑍) → 𝑁 ∈ ℤ)
6 iseralt.5 . . 3 (𝜑𝐺 ⇝ 0)
76adantr 481 . 2 ((𝜑𝑁𝑍) → 𝐺 ⇝ 0)
8 iseralt.3 . . . . 5 (𝜑𝐺:𝑍⟶ℝ)
98ffvelrnda 6315 . . . 4 ((𝜑𝑁𝑍) → (𝐺𝑁) ∈ ℝ)
109recnd 10012 . . 3 ((𝜑𝑁𝑍) → (𝐺𝑁) ∈ ℂ)
11 1z 11351 . . 3 1 ∈ ℤ
12 uzssz 11651 . . . 4 (ℤ‘1) ⊆ ℤ
13 zex 11330 . . . 4 ℤ ∈ V
1412, 13climconst2 14213 . . 3 (((𝐺𝑁) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℤ × {(𝐺𝑁)}) ⇝ (𝐺𝑁))
1510, 11, 14sylancl 693 . 2 ((𝜑𝑁𝑍) → (ℤ × {(𝐺𝑁)}) ⇝ (𝐺𝑁))
168ad2antrr 761 . . 3 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝐺:𝑍⟶ℝ)
173uztrn2 11649 . . . 4 ((𝑁𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑛𝑍)
1817adantll 749 . . 3 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑛𝑍)
1916, 18ffvelrnd 6316 . 2 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐺𝑛) ∈ ℝ)
20 eluzelz 11641 . . . . 5 (𝑛 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑛 ∈ ℤ)
2120adantl 482 . . . 4 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑛 ∈ ℤ)
22 fvex 6158 . . . . 5 (𝐺𝑁) ∈ V
2322fvconst2 6423 . . . 4 (𝑛 ∈ ℤ → ((ℤ × {(𝐺𝑁)})‘𝑛) = (𝐺𝑁))
2421, 23syl 17 . . 3 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((ℤ × {(𝐺𝑁)})‘𝑛) = (𝐺𝑁))
259adantr 481 . . 3 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐺𝑁) ∈ ℝ)
2624, 25eqeltrd 2698 . 2 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((ℤ × {(𝐺𝑁)})‘𝑛) ∈ ℝ)
27 simpr 477 . . . 4 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑁))
2816adantr 481 . . . . 5 ((((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)) → 𝐺:𝑍⟶ℝ)
29 simplr 791 . . . . . 6 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁𝑍)
30 elfzuz 12280 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑁...𝑛) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑁))
313uztrn2 11649 . . . . . 6 ((𝑁𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑘𝑍)
3229, 30, 31syl2an 494 . . . . 5 ((((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)) → 𝑘𝑍)
3328, 32ffvelrnd 6316 . . . 4 ((((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
34 simpl 473 . . . . 5 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝜑𝑁𝑍))
35 elfzuz 12280 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑛 − 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑁))
3631adantll 749 . . . . . 6 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑘𝑍)
37 iseralt.4 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐺𝑘))
3837adantlr 750 . . . . . 6 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐺𝑘))
3936, 38syldan 487 . . . . 5 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐺𝑘))
4034, 35, 39syl2an 494 . . . 4 ((((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...(𝑛 − 1))) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐺𝑘))
4127, 33, 40monoord2 12772 . . 3 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐺𝑛) ≤ (𝐺𝑁))
4241, 24breqtrrd 4641 . 2 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐺𝑛) ≤ ((ℤ × {(𝐺𝑁)})‘𝑛))
431, 5, 7, 15, 19, 26, 42climle 14304 1 ((𝜑𝑁𝑍) → 0 ≤ (𝐺𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  {csn 4148   class class class wbr 4613   × cxp 5072  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883  cle 10019  cmin 10210  cz 11321  cuz 11631  ...cfz 12268  cli 14149
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fl 12533  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-rlim 14154
This theorem is referenced by:  iseraltlem3  14348  iseralt  14349
  Copyright terms: Public domain W3C validator