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Theorem iseraltlem2 15027
Description: Lemma for iseralt 15029. The terms of an alternating series form a chain of inequalities in alternate terms, so that for example 𝑆(1) ≤ 𝑆(3) ≤ 𝑆(5) ≤ ... and ... ≤ 𝑆(4) ≤ 𝑆(2) ≤ 𝑆(0) (assuming 𝑀 = 0 so that these terms are defined). (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iseralt.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
iseralt.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
iseralt.3 (𝜑𝐺:𝑍⟶ℝ)
iseralt.4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐺𝑘))
iseralt.5 (𝜑𝐺 ⇝ 0)
iseralt.6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = ((-1↑𝑘) · (𝐺𝑘)))
Assertion
Ref Expression
iseraltlem2 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝐾   𝑘,𝑁   𝑘,𝑍

Proof of Theorem iseraltlem2
Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7153 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 0 → (2 · 𝑥) = (2 · 0))
2 2t0e0 11794 . . . . . . . . . 10 (2 · 0) = 0
31, 2syl6eq 2869 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (2 · 𝑥) = 0)
43oveq2d 7161 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → (𝑁 + (2 · 𝑥)) = (𝑁 + 0))
54fveq2d 6667 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑥))) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 0)))
65oveq2d 7161 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑥)))) = ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 0))))
76breq1d 5067 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑥)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) ↔ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 0))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))))
87imbi2d 342 . . . 4 (𝑥 = 0 → (((𝜑𝑁𝑍) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑥)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))) ↔ ((𝜑𝑁𝑍) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 0))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))))
9 oveq2 7153 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑛 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑛))
109oveq2d 7161 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑛 → (𝑁 + (2 · 𝑥)) = (𝑁 + (2 · 𝑛)))
1110fveq2d 6667 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑛 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑥))) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛))))
1211oveq2d 7161 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑛 → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑥)))) = ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))))
1312breq1d 5067 . . . . 5 (𝑥 = 𝑛 → (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑥)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) ↔ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))))
1413imbi2d 342 . . . 4 (𝑥 = 𝑛 → (((𝜑𝑁𝑍) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑥)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))) ↔ ((𝜑𝑁𝑍) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))))
15 oveq2 7153 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (2 · 𝑥) = (2 · (𝑛 + 1)))
1615oveq2d 7161 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (𝑁 + (2 · 𝑥)) = (𝑁 + (2 · (𝑛 + 1))))
1716fveq2d 6667 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑥))) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · (𝑛 + 1)))))
1817oveq2d 7161 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑥)))) = ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · (𝑛 + 1))))))
1918breq1d 5067 . . . . 5 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑥)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) ↔ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · (𝑛 + 1))))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))))
2019imbi2d 342 . . . 4 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (((𝜑𝑁𝑍) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑥)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))) ↔ ((𝜑𝑁𝑍) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · (𝑛 + 1))))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))))
21 oveq2 7153 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐾 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝐾))
2221oveq2d 7161 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐾 → (𝑁 + (2 · 𝑥)) = (𝑁 + (2 · 𝐾)))
2322fveq2d 6667 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐾 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑥))) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))))
2423oveq2d 7161 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐾 → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑥)))) = ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))))
2524breq1d 5067 . . . . 5 (𝑥 = 𝐾 → (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑥)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) ↔ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))))
2625imbi2d 342 . . . 4 (𝑥 = 𝐾 → (((𝜑𝑁𝑍) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑥)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))) ↔ ((𝜑𝑁𝑍) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))))
27 iseralt.1 . . . . . . . . . . . 12 𝑍 = (ℤ𝑀)
28 uzssz 12252 . . . . . . . . . . . 12 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
2927, 28eqsstri 3998 . . . . . . . . . . 11 𝑍 ⊆ ℤ
3029a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑍 ⊆ ℤ)
3130sselda 3964 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁𝑍) → 𝑁 ∈ ℤ)
3231zcnd 12076 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁𝑍) → 𝑁 ∈ ℂ)
3332addid1d 10828 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁𝑍) → (𝑁 + 0) = 𝑁)
3433fveq2d 6667 . . . . . 6 ((𝜑𝑁𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 0)) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
3534oveq2d 7161 . . . . 5 ((𝜑𝑁𝑍) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 0))) = ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
36 neg1rr 11740 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℝ
37 neg1ne0 11741 . . . . . . . 8 -1 ≠ 0
38 reexpclz 13437 . . . . . . . 8 ((-1 ∈ ℝ ∧ -1 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (-1↑𝑁) ∈ ℝ)
3936, 37, 31, 38mp3an12i 1456 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁𝑍) → (-1↑𝑁) ∈ ℝ)
40 iseralt.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
41 iseralt.6 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = ((-1↑𝑘) · (𝐺𝑘)))
4230sselda 3964 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ ℤ)
43 reexpclz 13437 . . . . . . . . . . . 12 ((-1 ∈ ℝ ∧ -1 ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (-1↑𝑘) ∈ ℝ)
4436, 37, 42, 43mp3an12i 1456 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑍) → (-1↑𝑘) ∈ ℝ)
45 iseralt.3 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺:𝑍⟶ℝ)
4645ffvelrnda 6843 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
4744, 46remulcld 10659 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → ((-1↑𝑘) · (𝐺𝑘)) ∈ ℝ)
4841, 47eqeltrd 2910 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
4927, 40, 48serfre 13387 . . . . . . . 8 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℝ)
5049ffvelrnda 6843 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℝ)
5139, 50remulcld 10659 . . . . . 6 ((𝜑𝑁𝑍) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℝ)
5251leidd 11194 . . . . 5 ((𝜑𝑁𝑍) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
5335, 52eqbrtrd 5079 . . . 4 ((𝜑𝑁𝑍) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 0))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
5445ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐺:𝑍⟶ℝ)
55 ax-1cn 10583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℂ
56552timesi 11763 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 · 1) = (1 + 1)
5756oveq2i 7156 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 + (2 · 𝑛)) + (2 · 1)) = ((𝑁 + (2 · 𝑛)) + (1 + 1))
58 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑁𝑍) → 𝑁𝑍)
5958, 27eleqtrdi 2920 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑁𝑍) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
6059adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
61 eluzelz 12241 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
6260, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
6362zcnd 12076 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
64 2cn 11700 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℂ
65 nn0cn 11895 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℂ)
6665adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℂ)
67 mulcl 10609 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
6864, 66, 67sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
6964, 55mulcli 10636 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 · 1) ∈ ℂ
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2 · 1) ∈ ℂ)
7163, 68, 70addassd 10651 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + (2 · 𝑛)) + (2 · 1)) = (𝑁 + ((2 · 𝑛) + (2 · 1))))
7257, 71syl5eqr 2867 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + (2 · 𝑛)) + (1 + 1)) = (𝑁 + ((2 · 𝑛) + (2 · 1))))
73 2nn0 11902 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℕ0
74 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
75 nn0mulcl 11921 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
7673, 74, 75sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
77 uzaddcl 12292 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (2 · 𝑛) ∈ ℕ0) → (𝑁 + (2 · 𝑛)) ∈ (ℤ𝑀))
7860, 76, 77syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁 + (2 · 𝑛)) ∈ (ℤ𝑀))
7928, 78sseldi 3962 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁 + (2 · 𝑛)) ∈ ℤ)
8079zcnd 12076 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁 + (2 · 𝑛)) ∈ ℂ)
81 1cnd 10624 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
8280, 81, 81addassd 10651 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1) = ((𝑁 + (2 · 𝑛)) + (1 + 1)))
83 2cnd 11703 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℂ)
8483, 66, 81adddid 10653 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2 · (𝑛 + 1)) = ((2 · 𝑛) + (2 · 1)))
8584oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁 + (2 · (𝑛 + 1))) = (𝑁 + ((2 · 𝑛) + (2 · 1))))
8672, 82, 853eqtr4d 2863 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1) = (𝑁 + (2 · (𝑛 + 1))))
87 peano2nn0 11925 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 + 1) ∈ ℕ0)
8887adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ0)
89 nn0mulcl 11921 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℕ0) → (2 · (𝑛 + 1)) ∈ ℕ0)
9073, 88, 89sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2 · (𝑛 + 1)) ∈ ℕ0)
91 uzaddcl 12292 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (2 · (𝑛 + 1)) ∈ ℕ0) → (𝑁 + (2 · (𝑛 + 1))) ∈ (ℤ𝑀))
9260, 90, 91syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁 + (2 · (𝑛 + 1))) ∈ (ℤ𝑀))
9392, 27eleqtrrdi 2921 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁 + (2 · (𝑛 + 1))) ∈ 𝑍)
9486, 93eqeltrd 2910 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1) ∈ 𝑍)
9554, 94ffvelrnd 6844 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) ∈ ℝ)
96 peano2uz 12289 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 + (2 · 𝑛)) ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) ∈ (ℤ𝑀))
9778, 96syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) ∈ (ℤ𝑀))
9897, 27eleqtrrdi 2921 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) ∈ 𝑍)
9954, 98ffvelrnd 6844 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) ∈ ℝ)
10095, 99resubcld 11056 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) − (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))) ∈ ℝ)
101 0red 10632 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
10239adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑁) ∈ ℝ)
10349ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℝ)
10478, 27eleqtrrdi 2921 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁 + (2 · 𝑛)) ∈ 𝑍)
105103, 104ffvelrnd 6844 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛))) ∈ ℝ)
106102, 105remulcld 10659 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))) ∈ ℝ)
107 fvoveq1 7168 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = ((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) = (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)))
108 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = ((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) → (𝐺𝑘) = (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)))
109107, 108breq12d 5070 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = ((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) → ((𝐺‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐺𝑘) ↔ (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) ≤ (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))))
110 iseralt.4 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐺𝑘))
111110ralrimiva 3179 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑘𝑍 (𝐺‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐺𝑘))
112111ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ∀𝑘𝑍 (𝐺‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐺𝑘))
113109, 112, 98rspcdva 3622 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) ≤ (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)))
11495, 99suble0d 11219 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) − (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))) ≤ 0 ↔ (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) ≤ (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))))
115113, 114mpbird 258 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) − (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))) ≤ 0)
116100, 101, 106, 115leadd2dd 11243 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))) + ((𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) − (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)))) ≤ (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))) + 0))
117 seqp1 13372 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) ∈ (ℤ𝑀) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) + (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))))
11897, 117syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) + (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))))
119 seqp1 13372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 + (2 · 𝑛)) ∈ (ℤ𝑀) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛))) + (𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))))
12078, 119syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛))) + (𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))))
121120oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) + (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))) = (((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛))) + (𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))) + (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))))
122118, 121eqtrd 2853 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) = (((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛))) + (𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))) + (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))))
12386fveq2d 6667 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · (𝑛 + 1)))))
124105recnd 10657 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛))) ∈ ℂ)
125 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = ((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) → (𝐹𝑘) = (𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)))
126 oveq2 7153 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = ((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) → (-1↑𝑘) = (-1↑((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)))
127126, 108oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = ((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) → ((-1↑𝑘) · (𝐺𝑘)) = ((-1↑((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))))
128125, 127eqeq12d 2834 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = ((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) → ((𝐹𝑘) = ((-1↑𝑘) · (𝐺𝑘)) ↔ (𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) = ((-1↑((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)))))
12941ralrimiva 3179 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) = ((-1↑𝑘) · (𝐺𝑘)))
130129ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) = ((-1↑𝑘) · (𝐺𝑘)))
131128, 130, 98rspcdva 3622 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) = ((-1↑((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))))
132 neg1cn 11739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 -1 ∈ ℂ
133132a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → -1 ∈ ℂ)
13437a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → -1 ≠ 0)
135133, 134, 79expp1zd 13507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-1↑((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) = ((-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) · -1))
13636a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → -1 ∈ ℝ)
137136, 134, 79reexpclzd 13598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) ∈ ℝ)
138137recnd 10657 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) ∈ ℂ)
139 mulcom 10611 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → ((-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) · -1) = (-1 · (-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛)))))
140138, 132, 139sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) · -1) = (-1 · (-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛)))))
141138mulm1d 11080 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-1 · (-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛)))) = -(-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))))
142135, 140, 1413eqtrd 2857 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-1↑((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) = -(-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))))
143142oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))) = (-(-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))))
14499recnd 10657 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) ∈ ℂ)
145 mulneg12 11066 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) ∈ ℂ ∧ (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) ∈ ℂ) → (-(-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))) = ((-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) · -(𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))))
146138, 144, 145syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-(-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))) = ((-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) · -(𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))))
147131, 143, 1463eqtrd 2857 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) = ((-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) · -(𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))))
14899renegcld 11055 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → -(𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) ∈ ℝ)
149137, 148remulcld 10659 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) · -(𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))) ∈ ℝ)
150147, 149eqeltrd 2910 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) ∈ ℝ)
151150recnd 10657 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) ∈ ℂ)
152 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = (((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1) → (𝐹𝑘) = (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)))
153 oveq2 7153 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = (((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1) → (-1↑𝑘) = (-1↑(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)))
154 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = (((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1) → (𝐺𝑘) = (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)))
155153, 154oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = (((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1) → ((-1↑𝑘) · (𝐺𝑘)) = ((-1↑(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) · (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))))
156152, 155eqeq12d 2834 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = (((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1) → ((𝐹𝑘) = ((-1↑𝑘) · (𝐺𝑘)) ↔ (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) = ((-1↑(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) · (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)))))
157156, 130, 94rspcdva 3622 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) = ((-1↑(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) · (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))))
15879peano2zd 12078 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) ∈ ℤ)
159133, 134, 158expp1zd 13507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-1↑(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) = ((-1↑((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) · -1))
160142oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) · -1) = (-(-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) · -1))
161 mul2neg 11067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (-(-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) · -1) = ((-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) · 1))
162138, 55, 161sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-(-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) · -1) = ((-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) · 1))
163138mulid1d 10646 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) · 1) = (-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))))
164162, 163eqtrd 2853 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-(-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) · -1) = (-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))))
165159, 160, 1643eqtrd 2857 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-1↑(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) = (-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))))
166165oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) · (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))) = ((-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) · (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))))
167157, 166eqtrd 2853 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) = ((-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) · (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))))
168137, 95remulcld 10659 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) · (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))) ∈ ℝ)
169167, 168eqeltrd 2910 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) ∈ ℝ)
170169recnd 10657 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) ∈ ℂ)
171124, 151, 170addassd 10651 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛))) + (𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))) + (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛))) + ((𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) + (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)))))
172122, 123, 1713eqtr3d 2861 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · (𝑛 + 1)))) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛))) + ((𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) + (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)))))
173172oveq2d 7161 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · (𝑛 + 1))))) = ((-1↑𝑁) · ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛))) + ((𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) + (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))))))
174102recnd 10657 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑁) ∈ ℂ)
175150, 169readdcld 10658 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) + (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))) ∈ ℝ)
176175recnd 10657 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) + (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))) ∈ ℂ)
177174, 124, 176adddid 10653 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛))) + ((𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) + (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))))) = (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))) + ((-1↑𝑁) · ((𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) + (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))))))
178174, 151, 170adddid 10653 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · ((𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) + (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)))) = (((-1↑𝑁) · (𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))) + ((-1↑𝑁) · (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)))))
179147oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))) = ((-1↑𝑁) · ((-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) · -(𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)))))
180148recnd 10657 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → -(𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) ∈ ℂ)
181174, 138, 180mulassd 10652 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((-1↑𝑁) · (-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛)))) · -(𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))) = ((-1↑𝑁) · ((-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) · -(𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)))))
182179, 181eqtr4d 2856 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))) = (((-1↑𝑁) · (-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛)))) · -(𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))))
18383, 63, 66adddid 10653 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2 · (𝑁 + 𝑛)) = ((2 · 𝑁) + (2 · 𝑛)))
184632timesd 11868 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
185184oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑁) + (2 · 𝑛)) = ((𝑁 + 𝑁) + (2 · 𝑛)))
18663, 63, 68addassd 10651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 𝑁) + (2 · 𝑛)) = (𝑁 + (𝑁 + (2 · 𝑛))))
187183, 185, 1863eqtrrd 2858 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁 + (𝑁 + (2 · 𝑛))) = (2 · (𝑁 + 𝑛)))
188187oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-1↑(𝑁 + (𝑁 + (2 · 𝑛)))) = (-1↑(2 · (𝑁 + 𝑛))))
189 expaddz 13461 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + (2 · 𝑛)) ∈ ℤ)) → (-1↑(𝑁 + (𝑁 + (2 · 𝑛)))) = ((-1↑𝑁) · (-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛)))))
190133, 134, 62, 79, 189syl22anc 834 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-1↑(𝑁 + (𝑁 + (2 · 𝑛)))) = ((-1↑𝑁) · (-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛)))))
191 2z 12002 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℤ
192191a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℤ)
193 nn0z 11993 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ)
194 zaddcl 12010 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝑛) ∈ ℤ)
19531, 193, 194syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝑛) ∈ ℤ)
196 expmulz 13463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 𝑛) ∈ ℤ)) → (-1↑(2 · (𝑁 + 𝑛))) = ((-1↑2)↑(𝑁 + 𝑛)))
197133, 134, 192, 195, 196syl22anc 834 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-1↑(2 · (𝑁 + 𝑛))) = ((-1↑2)↑(𝑁 + 𝑛)))
198 neg1sqe1 13547 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (-1↑2) = 1
199198oveq1i 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-1↑2)↑(𝑁 + 𝑛)) = (1↑(𝑁 + 𝑛))
200 1exp 13446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 + 𝑛) ∈ ℤ → (1↑(𝑁 + 𝑛)) = 1)
201195, 200syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (1↑(𝑁 + 𝑛)) = 1)
202199, 201syl5eq 2865 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑2)↑(𝑁 + 𝑛)) = 1)
203197, 202eqtrd 2853 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-1↑(2 · (𝑁 + 𝑛))) = 1)
204188, 190, 2033eqtr3d 2861 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛)))) = 1)
205204oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((-1↑𝑁) · (-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛)))) · -(𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))) = (1 · -(𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))))
206180mulid2d 10647 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (1 · -(𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))) = -(𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)))
207182, 205, 2063eqtrd 2857 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))) = -(𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)))
208167oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))) = ((-1↑𝑁) · ((-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) · (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)))))
20995recnd 10657 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) ∈ ℂ)
210174, 138, 209mulassd 10652 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((-1↑𝑁) · (-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛)))) · (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))) = ((-1↑𝑁) · ((-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) · (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)))))
211208, 210eqtr4d 2856 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))) = (((-1↑𝑁) · (-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛)))) · (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))))
212204oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((-1↑𝑁) · (-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛)))) · (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))) = (1 · (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))))
213209mulid2d 10647 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (1 · (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))) = (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)))
214211, 212, 2133eqtrd 2857 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))) = (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)))
215207, 214oveq12d 7163 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((-1↑𝑁) · (𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))) + ((-1↑𝑁) · (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)))) = (-(𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) + (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))))
216144negcld 10972 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → -(𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) ∈ ℂ)
217216, 209addcomd 10830 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-(𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) + (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))) = ((𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) + -(𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))))
218209, 144negsubd 10991 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) + -(𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))) = ((𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) − (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))))
219217, 218eqtrd 2853 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-(𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) + (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))) = ((𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) − (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))))
220178, 215, 2193eqtrd 2857 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · ((𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) + (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)))) = ((𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) − (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))))
221220oveq2d 7161 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))) + ((-1↑𝑁) · ((𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) + (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))))) = (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))) + ((𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) − (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)))))
222173, 177, 2213eqtrrd 2858 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))) + ((𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) − (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)))) = ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · (𝑛 + 1))))))
223106recnd 10657 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))) ∈ ℂ)
224223addid1d 10828 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))) + 0) = ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))))
225116, 222, 2243brtr3d 5088 . . . . . . 7 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · (𝑛 + 1))))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))))
226103, 93ffvelrnd 6844 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
227102, 226remulcld 10659 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · (𝑛 + 1))))) ∈ ℝ)
22851adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℝ)
229 letr 10722 . . . . . . . 8 ((((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · (𝑛 + 1))))) ∈ ℝ ∧ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))) ∈ ℝ ∧ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℝ) → ((((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · (𝑛 + 1))))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))) ∧ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · (𝑛 + 1))))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))))
230227, 106, 228, 229syl3anc 1363 . . . . . . 7 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · (𝑛 + 1))))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))) ∧ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · (𝑛 + 1))))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))))
231225, 230mpand 691 . . . . . 6 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · (𝑛 + 1))))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))))
232231expcom 414 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝜑𝑁𝑍) → (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · (𝑛 + 1))))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))))
233232a2d 29 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 → (((𝜑𝑁𝑍) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))) → ((𝜑𝑁𝑍) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · (𝑛 + 1))))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))))
2348, 14, 20, 26, 53, 233nn0ind 12065 . . 3 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝜑𝑁𝑍) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))))
235234com12 32 . 2 ((𝜑𝑁𝑍) → (𝐾 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))))
2362353impia 1109 1 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  wss 3933   class class class wbr 5057  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530  cle 10664  cmin 10858  -cneg 10859  2c2 11680  0cn0 11885  cz 11969  cuz 12231  seqcseq 13357  cexp 13417  cli 14829
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-seq 13358  df-exp 13418
This theorem is referenced by:  iseraltlem3  15028
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