Theorem isercolllem1 15023

Description: Lemma for isercoll 15026. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isercoll.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
isercoll.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
isercoll.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶𝑍)
isercoll.i	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) < (𝐺‘(𝑘 + 1)))

Assertion

Ref	Expression
isercolllem1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ ℕ) → (𝐺 ↾ 𝑆) Isom < , < (𝑆, (𝐺 “ 𝑆)))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem isercolllem1

Dummy variables 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isercoll.z	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		uzssz 12267	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
3	1, 2	eqsstri 4003	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
4		zssre 11991	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
5	3, 4	sstri 3978	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 ⊆ ℝ
6		isercoll.g	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶𝑍)
7	6	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝐺:ℕ⟶𝑍)
8		simplrl 775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ ℕ)
9	7, 8	ffvelrnd 6854	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝐺‘𝑥) ∈ 𝑍)
10	5, 9	sseldi 3967	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℝ)
11		simplrr 776	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℕ)
12	11	nnred 11655	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
13	10, 12	resubcld 11070	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((𝐺‘𝑥) − 𝑦) ∈ ℝ)
14	8	nnred 11655	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ ℝ)
15	10, 14	resubcld 11070	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((𝐺‘𝑥) − 𝑥) ∈ ℝ)
16	7, 11	ffvelrnd 6854	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑍)
17	5, 16	sseldi 3967	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝐺‘𝑦) ∈ ℝ)
18	17, 12	resubcld 11070	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((𝐺‘𝑦) − 𝑦) ∈ ℝ)
19		simpr 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 < 𝑦)
20	14, 12, 10, 19	ltsub2dd 11255	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((𝐺‘𝑥) − 𝑦) < ((𝐺‘𝑥) − 𝑥))
21	8	nnzd 12089	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ ℤ)
22	11	nnzd 12089	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℤ)
23	14, 12, 19	ltled 10790	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ≤ 𝑦)
24		eluz2 12252	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝑥) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≤ 𝑦))
25	21, 22, 23, 24	syl3anbrc 1339	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝑥))
26		elfzuz 12907	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑥...𝑦) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑥))
27		eluznn 12321	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑥)) → 𝑘 ∈ ℕ)
28	8, 27	sylan 582	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑥)) → 𝑘 ∈ ℕ)
29		fveq2 6672	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐺‘𝑛) = (𝐺‘𝑘))
30		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → 𝑛 = 𝑘)
31	29, 30	oveq12d 7176	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐺‘𝑛) − 𝑛) = ((𝐺‘𝑘) − 𝑘))
32		eqid 2823	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺‘𝑛) − 𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺‘𝑛) − 𝑛))
33		ovex 7191	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺‘𝑘) − 𝑘) ∈ V
34	31, 32, 33	fvmpt 6770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺‘𝑛) − 𝑛))‘𝑘) = ((𝐺‘𝑘) − 𝑘))
35	34	adantl 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺‘𝑛) − 𝑛))‘𝑘) = ((𝐺‘𝑘) − 𝑘))
36	7	ffvelrnda 6853	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ∈ 𝑍)
37	5, 36	sseldi 3967	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
38		nnre 11647	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
39	38	adantl 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ)
40	37, 39	resubcld 11070	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺‘𝑘) − 𝑘) ∈ ℝ)
41	35, 40	eqeltrd 2915	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺‘𝑛) − 𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
42	28, 41	syldan 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑥)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺‘𝑛) − 𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
43	26, 42	sylan2 594	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ (𝑥...𝑦)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺‘𝑛) − 𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
44		elfzuz 12907	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑥...(𝑦 − 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑥))
45		peano2nn 11652	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
46		ffvelrn 6851	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐺:ℕ⟶𝑍 ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑍)
47	7, 45, 46	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑍)
48	5, 47	sseldi 3967	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
49		peano2rem 10955	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ → ((𝐺‘(𝑘 + 1)) − 1) ∈ ℝ)
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺‘(𝑘 + 1)) − 1) ∈ ℝ)
51		isercoll.i	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) < (𝐺‘(𝑘 + 1)))
52	51	ad4ant14 750	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) < (𝐺‘(𝑘 + 1)))
53	3, 36	sseldi 3967	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℤ)
54	3, 47	sseldi 3967	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ∈ ℤ)
55		zltlem1 12038	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐺‘𝑘) ∈ ℤ ∧ (𝐺‘(𝑘 + 1)) ∈ ℤ) → ((𝐺‘𝑘) < (𝐺‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝐺‘𝑘) ≤ ((𝐺‘(𝑘 + 1)) − 1)))
56	53, 54, 55	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺‘𝑘) < (𝐺‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝐺‘𝑘) ≤ ((𝐺‘(𝑘 + 1)) − 1)))
57	52, 56	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ≤ ((𝐺‘(𝑘 + 1)) − 1))
58	37, 50, 39, 57	lesub1dd 11258	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺‘𝑘) − 𝑘) ≤ (((𝐺‘(𝑘 + 1)) − 1) − 𝑘))
59	48	recnd 10671	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
60		1cnd 10638	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
61	39	recnd 10671	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
62	59, 60, 61	sub32d 11031	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐺‘(𝑘 + 1)) − 1) − 𝑘) = (((𝐺‘(𝑘 + 1)) − 𝑘) − 1))
63	59, 61, 60	subsub4d 11030	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐺‘(𝑘 + 1)) − 𝑘) − 1) = ((𝐺‘(𝑘 + 1)) − (𝑘 + 1)))
64	62, 63	eqtrd 2858	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐺‘(𝑘 + 1)) − 1) − 𝑘) = ((𝐺‘(𝑘 + 1)) − (𝑘 + 1)))
65	58, 64	breqtrd 5094	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺‘𝑘) − 𝑘) ≤ ((𝐺‘(𝑘 + 1)) − (𝑘 + 1)))
66	45	adantl 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
67		fveq2 6672	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝐺‘𝑛) = (𝐺‘(𝑘 + 1)))
68		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → 𝑛 = (𝑘 + 1))
69	67, 68	oveq12d 7176	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → ((𝐺‘𝑛) − 𝑛) = ((𝐺‘(𝑘 + 1)) − (𝑘 + 1)))
70		ovex 7191	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺‘(𝑘 + 1)) − (𝑘 + 1)) ∈ V
71	69, 32, 70	fvmpt 6770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺‘𝑛) − 𝑛))‘(𝑘 + 1)) = ((𝐺‘(𝑘 + 1)) − (𝑘 + 1)))
72	66, 71	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺‘𝑛) − 𝑛))‘(𝑘 + 1)) = ((𝐺‘(𝑘 + 1)) − (𝑘 + 1)))
73	65, 35, 72	3brtr4d 5100	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺‘𝑛) − 𝑛))‘𝑘) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺‘𝑛) − 𝑛))‘(𝑘 + 1)))
74	28, 73	syldan 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑥)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺‘𝑛) − 𝑛))‘𝑘) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺‘𝑛) − 𝑛))‘(𝑘 + 1)))
75	44, 74	sylan2 594	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ (𝑥...(𝑦 − 1))) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺‘𝑛) − 𝑛))‘𝑘) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺‘𝑛) − 𝑛))‘(𝑘 + 1)))
76	25, 43, 75	monoord 13403	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺‘𝑛) − 𝑛))‘𝑥) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺‘𝑛) − 𝑛))‘𝑦))
77		fveq2 6672	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → (𝐺‘𝑛) = (𝐺‘𝑥))
78		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → 𝑛 = 𝑥)
79	77, 78	oveq12d 7176	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → ((𝐺‘𝑛) − 𝑛) = ((𝐺‘𝑥) − 𝑥))
80		ovex 7191	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺‘𝑥) − 𝑥) ∈ V
81	79, 32, 80	fvmpt 6770	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺‘𝑛) − 𝑛))‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥) − 𝑥))
82	8, 81	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺‘𝑛) − 𝑛))‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥) − 𝑥))
83		fveq2 6672	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑦 → (𝐺‘𝑛) = (𝐺‘𝑦))
84		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑦 → 𝑛 = 𝑦)
85	83, 84	oveq12d 7176	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑦 → ((𝐺‘𝑛) − 𝑛) = ((𝐺‘𝑦) − 𝑦))
86		ovex 7191	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺‘𝑦) − 𝑦) ∈ V
87	85, 32, 86	fvmpt 6770	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺‘𝑛) − 𝑛))‘𝑦) = ((𝐺‘𝑦) − 𝑦))
88	11, 87	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺‘𝑛) − 𝑛))‘𝑦) = ((𝐺‘𝑦) − 𝑦))
89	76, 82, 88	3brtr3d 5099	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((𝐺‘𝑥) − 𝑥) ≤ ((𝐺‘𝑦) − 𝑦))
90	13, 15, 18, 20, 89	ltletrd 10802	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((𝐺‘𝑥) − 𝑦) < ((𝐺‘𝑦) − 𝑦))
91	10, 17, 12	ltsub1d 11251	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((𝐺‘𝑥) < (𝐺‘𝑦) ↔ ((𝐺‘𝑥) − 𝑦) < ((𝐺‘𝑦) − 𝑦)))
92	90, 91	mpbird 259	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝐺‘𝑥) < (𝐺‘𝑦))
93	92	ex 415	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑥 < 𝑦 → (𝐺‘𝑥) < (𝐺‘𝑦)))
94	93	ralrimivva 3193	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑥 < 𝑦 → (𝐺‘𝑥) < (𝐺‘𝑦)))
95		ss2ralv 4037	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑥 < 𝑦 → (𝐺‘𝑥) < (𝐺‘𝑦)) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 < 𝑦 → (𝐺‘𝑥) < (𝐺‘𝑦))))
96	94, 95	mpan9 509	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ ℕ) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 < 𝑦 → (𝐺‘𝑥) < (𝐺‘𝑦)))
97		nnssre 11644	. . . . 5 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
98		ltso 10723	. . . . 5 ⊢ < Or ℝ
99		soss 5495	. . . . 5 ⊢ (ℕ ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or ℕ))
100	97, 98, 99	mp2 9	. . . 4 ⊢ < Or ℕ
101	100	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ ℕ) → < Or ℕ)
102		soss 5495	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or 𝑍))
103	5, 98, 102	mp2 9	. . . 4 ⊢ < Or 𝑍
104	103	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ ℕ) → < Or 𝑍)
105	6	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ ℕ) → 𝐺:ℕ⟶𝑍)
106		simpr 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ ℕ) → 𝑆 ⊆ ℕ)
107		soisores 7082	. . 3 ⊢ ((( < Or ℕ ∧ < Or 𝑍) ∧ (𝐺:ℕ⟶𝑍 ∧ 𝑆 ⊆ ℕ)) → ((𝐺 ↾ 𝑆) Isom < , < (𝑆, (𝐺 “ 𝑆)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 < 𝑦 → (𝐺‘𝑥) < (𝐺‘𝑦))))
108	101, 104, 105, 106, 107	syl22anc 836	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ ℕ) → ((𝐺 ↾ 𝑆) Isom < , < (𝑆, (𝐺 “ 𝑆)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 < 𝑦 → (𝐺‘𝑥) < (𝐺‘𝑦))))
109	96, 108	mpbird 259	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ ℕ) → (𝐺 ↾ 𝑆) Isom < , < (𝑆, (𝐺 “ 𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3140   ⊆ wss 3938   class class class wbr 5068   ↦ cmpt 5148   Or wor 5475   ↾ cres 5559   “ cima 5560  ⟶wf 6353  ‘cfv 6357   Isom wiso 6358  (class class class)co 7158  ℝcr 10538  1c1 10540   + caddc 10542   < clt 10677   ≤ cle 10678   − cmin 10872  ℕcn 11640  ℤcz 11984  ℤ_≥cuz 12246  ...cfz 12895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896

This theorem is referenced by:  isercolllem2  15024  isercolllem3  15025  isercoll  15026